歡迎來到不等式的世界！
在這一章，我們要跳出「相等」的簡單方程式，去探索不等式的領域——也就是關於大於、小於或兩者之間關係的世界。你可以把它想像成限速：你不需要剛好開到每小時 60 英里；你只需要保持在這個數值或以下就可以了。不等式讓我們能夠描述數值範圍與區域，這對從工程公差到財務預測等各個領域都至關重要。
如果剛開始覺得有點抽象，別擔心。看完這些筆記，你將能充滿自信地解線性與二次不等式，甚至還能把它們畫在圖表上！
1. 基本概念：線性不等式
解線性不等式與解普通的線性方程式（例如 \(2x + 3 = 7\)）非常相似。你的目標依然是把 \(x\) 單獨留在一邊。
黃金法則
有一點巨大的差異你必須記住：如果你乘或除以一個負數，你必須將不等號翻轉。
例子： 如果你有 \(-2x < 10\)，當你除以 \(-2\) 時，答案會變成 \(x > -5\)。
逐步範例
解 \(3(x - 2) \leq 12 + x\)：
1. 展開括號：\(3x - 6 \leq 12 + x\)
2. 將所有 \(x\) 項移到一邊：\(2x - 6 \leq 12\)
3. 將常數移到另一邊：\(2x \leq 18\)
4. 除以 2：\(x \leq 9\)
速查表：
\( > \) : 大於
\( < \) : 小於
\( \geq \) : 大於或等於
\( \leq \) : 小於或等於
重點總結： 把不等式當作方程式來處理，但只要乘或除以負數，就一定要記得翻轉符號！
2. 表達你的答案
在 A Level 數學中，答案的寫法跟答案本身一樣重要。你需要熟練掌握以下三種表達方式：
A. 集合標記法 (Set Notation)
這看起來有點花俏，但其實很簡單。我們使用花括號 \(\{ \}\) 來描述一組「集合」。
例子： \(\{x : x > 3\}\) 的意思是「所有滿足 \(x > 3\) 的 \(x\) 值集合。」
B. 區間標記法 (Interval Notation)
這是一種簡寫範圍的方式：
- 如果數字包含在內 (\(\leq\) 或 \(\geq\))，使用方括號 \([ \,\, ]\)。
- 如果數字不包含在內 (\(<\) 或 \(>\))，使用圓括號 \(( \,\, )\)。
例子： \((2, 5]\) 的意思是 \(2 < x \leq 5\)。
C. 「且」(And) 與「或」(Or)
- 且 (\(\cap\))： 當 \(x\) 必須同時滿足兩個條件（即重疊的部分）時使用。
- 或 (\(\cup\))： 當 \(x\) 可以屬於其中一個區域或另一個區域（即聯集）時使用。
記憶小撇步： 把聯集符號 **U** 想成一個水桶，把兩邊的所有東西都收集進來！
常見錯誤： 寫成 \(5 < x < 2\)。這是絕對不可能的！一個數不可能同時大於 5 又小於 2。你應該寫成 \(x > 5\) 或 \(x < 2\)。
3. 二次不等式
二次不等式（例如 \(x^2 - 5x + 6 < 0\)）稍微複雜一點。你不能直接「解出 \(x\)」，必須遵循以下步驟：
三步法
第一步：找出臨界值 (Critical Values)。
假裝它是個方程式 (\(= 0\)) 並解出它（通常透過因式分解）。
例子： \(x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0\)。臨界值為 \(x = 2\) 和 \(x = 3\)。
第二步：繪製草圖。
畫一個拋物線的簡單草圖。由於 \(x^2\) 的係數為正，這是一個「開口向上」的 U 型曲線，並在 2 和 3 處與 \(x\) 軸相交。
第三步：識別區域。
- 如果不等式是 \( < 0 \)，你要找的是曲線在 \(x\) 軸下方的部分。
- 如果不等式是 \( > 0 \)，你要找的是曲線在 \(x\) 軸上方的部分。
在我們的例子中 (\( < 0 \))： 曲線在 2 到 3 之間位於軸下方，所以是 \(2 < x < 3\)。
重點總結： 永遠不要在沒畫草圖的情況下解二次不等式！草圖會告訴你答案是一個連續的範圍，還是兩個分開的部分。
4. 圖形不等式
有時候你需要將不等式表示在座標平面（\(x\) 與 \(y\)）上。這對於視覺化「允許區域」非常有用。
陰影區域規則：
1. 畫線： 先畫出方程式的直線或曲線。
- 如果是 \(\leq\) 或 \(\geq\)，使用實線。
- 如果是 \(<\) 或 \(>\)，使用虛線。
2. 區域：
- \(y > f(x)\) 代表線的上方區域。
- \(y < f(x)\) 代表線的下方區域。
你知道嗎？ 這項技術是「線性規劃」(Linear Programming) 的基礎，像 Amazon 這樣的公司就是用它來計算最高效的物流路線！
5. 模數不等式 (Modulus Inequalities)
模數 \(|x|\) 指的就是一個數的絕對值（正值）。它代表的是該數與零的距離。
例子： \(|x - 3| < 5\)。
這代表 \(x\) 與 3 之間的距離小於 5 個單位。
要解這個不等式，你可以改寫為：\(-5 < x - 3 < 5\)。
將每一項加 3：\(-2 < x < 8\)。
快速技巧： 對於 \(|f(x)| < a\)，寫成 \(-a < f(x) < a\)。對於 \(|f(x)| > a\)，寫成 \(f(x) > a\) 或 \(f(x) < -a\)。
總結： 模數不等式其實是把兩個不等式藏在裡面！把它們拆開來，然後按照普通方式解開即可。
最後快速複習
1. 線性： 把 \(x\) 單獨移到一邊。乘除負數時要翻轉符號。
2. 二次： 因式分解找出臨界值，畫出草圖，然後選取範圍（\(<\) 選 U 型中間，\(>\) 選外側）。
3. 標記法： 使用 \([ \, ]\) 表示「包含」，\(( \, )\) 表示「不包含」。
4. 圖像： 嚴格不等式（\(<\)、\(>\)）用虛線，有等號（\(\leq\)、\(\geq\)）用實線。
5. 模數： 考慮距離，將不等式拆成兩部分求解。
如果覺得內容有點多，別擔心！從線性開始，一旦你熟練了拋物線作圖，二次不等式就會迎刃而解。加油，你一定做得到！