歡迎來到數列與級數建模的世界！
在本章中，我們將運用你所學過的等差數列與等比數列知識來解決實際問題。你可以將數學建模視為一種「翻譯」過程——把現實生活中的情況（例如銀行存款的增長或蜜蜂數量的增加）轉化為數學公式。
如果起初覺得有點棘手，別擔心！建模的核心就在於發現規律。一旦你分辨出情況是加上一個固定數值（等差），還是乘以一個固定百分比（等比），數學運算就會變得簡單多了。
1. 等差建模（「加法」模型）
當某事物每次增加或減少的數值都相同時，我們會使用等差數列。
現實生活中的例子：
• 單利：如果你存入 \( £100 \)，而銀行每年根據原始的 \( £100 \) 給你 \( £5 \) 利息。
• 固定加薪：一份工作每年給你固定加薪 \( £500 \)。
• 線性折舊：一部車的價值每年精確減少 \( £1,000 \)。
公式溫習
求特定項： \( u_n = a + (n-1)d \)
求總和： \( S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) \)
記憶小撇步：把等差 (Arithmetic) 想成加 (Adding)。如果你每次都在加上相同的「公差」(\( d \))，這就是一個等差模型。
範例：儲蓄罐
範例：你原本在罐子裡有 \( £50 \)，每個月存入 \( £10 \)。請問 2 年後罐子裡有多少錢？
第一步：找出變數。
起始金額 (a) 為 \( 50 \)。
公差 (d) 為 \( 10 \)。
項數 (n) 為 \( 24 \)（因為 2 年 = 24 個月）。
第二步：代入公式。
\( u_{24} = 50 + (24 - 1) \times 10 \)
\( u_{24} = 50 + 230 = £280 \)。
快速複習：如果變化量是固定數值，請使用等差公式。
2. 等比建模（「百分比」模型）
當某事物按百分比或比率增長或減少時，我們會使用等比數列。這在金融和生物學中更為常見。
現實生活中的例子：
• 複利：這是大多數銀行賬戶中常見的「利滾利」。
• 人口增長：細菌每小時翻倍，或一個城鎮每年增長 \( 2\% \)。
• 餘額遞減折舊：一部手機每年價值損失 \( 20\% \)。
公式溫習
求特定項： \( u_n = ar^{n-1} \)
求總和： \( S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \)
「乘數」(\( r \)) 的設定：
• 如果某事物增長 \( 5\% \)，乘數 \( r = 1.05 \)。
• 如果某事物減少 \( 5\% \)，乘數 \( r = 0.95 \)（因為 \( 100\% - 5\% = 95\% \)）。
你知道嗎？
複利常被稱為「世界第八大奇蹟」，因為它的增長速度非常驚人。即使是少量的初始金額，經過一段時間後也會變得很巨大，因為乘數 (\( r \)) 是作用在不斷增長的總額上！
範例：投資未來
範例：你投資 \( £1,000 \)，年利率為 \( 4\% \)。請問在第 10 年年初時，你會有多少錢？
第一步：找出變數。
初始金額 (a) = \( 1000 \)。
增長率 = \( 4\% \)，所以乘數 (r) = \( 1.04 \)。
項數 (n) = \( 10 \)。
第二步：使用通項公式。
\( u_{10} = 1000 \times (1.04)^{10-1} \)
\( u_{10} = 1000 \times (1.04)^9 \approx £1,423.31 \)。
快速複習：如果變化量是百分比或比率，請使用等比公式。
3. 使用對數 (Logs) 求解不等式
在 OCR 考試中，你常會遇到這樣的問題：「投資需要多少年才能超過 \( £5,000 \)？」當未知數 (\( n \)) 出現在指數位置時，我們必須使用對數。
步驟流程：
1. 建立不等式： \( ar^{n-1} > 5000 \)。
2. 除以 \( a \)： \( r^{n-1} > \frac{5000}{a} \)。
3. 兩邊同時取對數 (log)： \( \ln(r^{n-1}) > \ln(\frac{5000}{a}) \)。
4. 將指數移到前方： \( (n-1) \ln(r) > \ln(\frac{5000}{a}) \)。
5. 解出 \( n \)。
常見錯誤警示：當你除以 \( \ln(r) \) 時，若 \( r < 1 \)（例如在衰減問題中），\( \ln(r) \) 會是一個負數。記得在除以負數時，要改變不等號的方向！
4. 建模的假設與限制
沒有任何模型是完美的。當你回答「建模」問題時，你可能會被要求評論其有效性。
常見假設：
• 恆定速率：我們假設利率或增長率每年保持完全不變。
• 無限增長：等比模型暗示人口會永遠增長，但現實中，資源（如食物或空間）是有限的。
修正模型：
如果模型與現實不符，我們會通過調整 \( r \) 或 \( d \) 的值來「修正」模型，使其更符合觀察到的數據。
總結摘要
1. 辨認模式： 固定數值變化 = 等差；百分比/比率變化 = 等比。
2. 小心 \( n \) 的定義： 確認題目問的是「年末」還是「年初」。這通常會使 \( n \) 的值差 1。
3. 善用對數： 多練習使用對數來求指數位置的 \( n \)。
4. 檢查 \( r \)： 增長 \( 3\% \)，則 \( r = 1.03 \)。減少 \( 3\% \)，則 \( r = 0.97 \)。
繼續努力！建模其實就是一個拼圖遊戲，只要找出正確的組件（\( a, r, d, n \)）並放入正確的公式中即可。