簡介：你的微分工具箱
歡迎來到 A Level 數學中最具威力的章節之一！在此之前，你可能已經學會了微分像 \(y = x^2\) 這樣的簡單函數。但如果函數開始「嵌套」在一起，或者互相乘除，又該怎麼辦呢？
在本節中，我們將學習微分技巧。將它們想像成一套專用工具——連鎖律 (Chain Rule)、積法則 (Product Rule) 和商法則 (Quotient Rule)——它們能讓你解決幾乎所有遇到的微分問題。剛開始看到這麼多符號別擔心；一旦你看懂了當中的規律，微分就像依照食譜做菜一樣簡單！
1. 連鎖律 (Chain Rule)（「洋蔥」法則）
當我們遇到複合函數 (composite function)——也就是「函數中還有函數」時，我們就會用到連鎖律。
例子：在 \(y = (3x + 1)^2\) 中，「內部」函數是 \(3x+1\)，而「外部」函數是「某個東西的平方」。
它是如何運作的？
想像一顆洋蔥。要到達中心，你必須先剝掉外層。連鎖律做的正是這件事：你先對外層進行微分，然後乘以內層的導數。
公式： \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}\)
步驟：
- 找出內部函數並將其設為 \(u\)。
- 用 \(u\) 來改寫原始方程。
- 分別對兩個部分進行微分。
- 將兩者相乘。
不用擔心，如果這看起來很棘手！ 對於像 \(y = [f(x)]^n\) 這樣的函數，有一個常見的快捷方式：
把次方拿下來，保持括號不變，次方減 1，然後乘以括號內部的導數。
常見錯誤： 許多學生會忘記最後一步——乘以「內部」的導數。一定要再三檢查你的「內部」導數！
重點總結： 連鎖律適用於嵌套函數。如果你能說出「某個東西在另一個東西裡面」，那就用連鎖律。
2. 積法則 (Product Rule)（「拍檔」法則）
當兩個不同的 \(x\) 函數相乘時，我們使用積法則。
例子：\(y = x^2 \sin(x)\)。這裡，\(x^2\) 是一個函數 (\(u\))，而 \(\sin(x)\) 是另一個 (\(v\))。
公式： \(\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\)
一個實用的類比
把它想像成一場雙人舞。當一個人獨舞時，另一個人必須站著不動。
1. 當我們對第二個函數 (\(v\)) 微分時，第一個函數 (\(u\)) 保持不變。
2. 然後，當我們對第一個函數 (\(u\)) 微分時，第二個函數 (\(v\)) 保持不變。
3. 將它們加起來！
記憶口訣：
「左乘右導 + 右乘左導」
（左邊函數乘上右邊的導數，加上右邊函數乘上左邊的導數）。
快速複習箱
什麼時候使用積法則： 當你看到兩個不同的 \(x\) 項相乘時，例如 \(x^3 e^x\) 或 \(e^{2x} \cos(x)\)。
3. 商法則 (Quotient Rule)（「分數」法則）
當一個函數除以另一個函數時，我們使用商法則。
例子：\(y = \frac{\sin(x)}{x^2}\)
公式： \(\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)
你需要記住的口訣
由於公式分子有一個減號，順序非常重要！用這個著名的口訣來記憶它：
「下乘上導減上乘下導，平方分母再做好！」
- 下 (Low)： 下面的函數 (\(v\))
- 上導 (d-High)： 上面函數的導數 (\(u'\))
- 上 (High)： 上面的函數 (\(u\))
- 下導 (d-Low)： 下面函數的導數 (\(v'\))
你知道嗎？ 如果你用負指數改寫分數，其實可以用積法則來代替商法則！例如，\(\frac{u}{v}\) 等同於 \(u \times v^{-1}\)。不過，在考試中，商法則通常快得多。
重點總結： 分子一定要從下面 (分母) 的函數開始：\(v \times u'\)。如果你搞錯順序，答案的符號就會出錯！
4. 反函數微分 (Differentiation of Inverse Functions)
有時候，對 \(y\) 微分 \(x\) (\(\frac{dx}{dy}\)) 會比反過來做容易得多。課程要求你掌握這個方便的關係：
規則： \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)
當你遇到以 \(x = ...\) 開頭的方程，但需要求斜率 (\(\frac{dy}{dx}\)) 時，這招非常有用。你只需要按原樣微分，最後將分數「翻轉」即可。
5. 相關變率 (Connected Rates of Change)
這就是我們將連鎖律應用到現實世界的情況。這主要關於一個變率如何影響另一個變率。
例子：如果你往氣球裡吹氣，體積 (\(V\)) 會隨時間 (\(t\)) 增加。當體積增加時，半徑 (\(r\)) 也會隨之增加。
我們可以使用連鎖律將它們聯繫起來：
\(\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \times \frac{dr}{dt}\)
變率問題的步驟：
- 寫下已知的變率（例如，\(\frac{dV}{dt} = 5\)）。
- 寫下想要找出的變率（例如，\(\frac{dr}{dt} = ?\)）。
- 使用連鎖律，通過你可以計算的第三個導數（通常來自幾何公式，如 \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)）將它們連接起來。
小貼士： 務必觀察題目中的單位，它們是巨大的線索！如果數值單位是 \(cm^3/s\)，那麼它就是體積的變率 (\(\frac{dV}{dt}\))。
總結表：我應該用哪個法則？
連鎖律： 用於「函數中還有函數」\(f(g(x))\)。
積法則： 用於「函數相乘」\(u \times v\)。
商法則： 用於「函數相除」\(\frac{u}{v}\)。
反函數法則： 用於 \(x\) 是 \(y\) 的函數時。
相關變率： 用於事物隨時間改變時 (\(dt\))。
給你的鼓勵： 這些技巧是微積分的「代數」。起初，這感覺像是要做很多繁瑣的計算，但只要多加練習，你的大腦很快就能一眼看出這是一題積法則還是連鎖律！繼續加油練習微分吧！