歡迎來到三角恆等式！
你好！歡迎來到 A Level 數學中最具威力的章節之一。如果你曾看著一條冗長混亂的方程式，心想如果能施展魔法將它簡化就好了，那麼你來對地方了。三角恆等式 (Trigonometric identities) 正有此妙用——它們就像是數學上的「化名」，讓我們能將一個算式替換成另一個，從而讓解題變得輕鬆許多。
在本章中，我們將學習如何以不同的方式改寫三角函數。這是解複雜方程式的必備技能，也是後續高階微積分中的「獨門秘方」。起初看到這麼多公式不必擔心，我們會將它們拆解成容易記憶的規律！
1. 基礎：基本恆等式
在學習新的 A Level 工具之前，讓我們先快速複習一下你在 AS Level 可能已經學過的兩條「黃金定律」。它們是所有知識的基石。
恆等式 1：正切定律 (Tangent Rule)
\(\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
恆等式 2：畢氏恆等式 (Pythagorean Identity)
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1\)
試著這樣想：恆等式 2 其實就是隱藏在半徑為 1 的圓形裡的畢氏定理 (\(a^2 + b^2 = c^2\))！
速查小貼士：
- 你可以重組恆等式 2！例如：\(\sin^2 \theta \equiv 1 - \cos^2 \theta\)。
- 常見錯誤：記住 \(\sin^2 \theta\) 代表的是 \((\sin \theta)^2\)，它並非等於 \(\sin \theta^2\)！
2. 新成員：倒數恆等式
在 A Level，我們會引入三個新函數。它們其實就是你早已熟悉的那些函數的「倒數」版本。
- 正割 (Secant)： \(\sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta}\)
- 餘割 (Cosecant)： \(\text{cosec } \theta \equiv \frac{1}{\sin \theta}\)
- 餘切 (Cotangent)： \(\cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
記憶法：第三字母技巧
總是分不清楚誰對應誰嗎？只要觀察新函數的第三個字母：
- sec \(\theta\) 對應 cos \(\theta\)
- cosec \(\theta\) 對應 sin \(\theta\)
- cot \(\theta\) 對應 tan \(\theta\)
連結它們
透過將原本的 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1\) 分別除以 \(\cos^2 \theta\) 或 \(\sin^2 \theta\)，我們可以得到兩條全新的「平方恆等式」：
恆等式 3： \(1 + \tan^2 \theta \equiv \sec^2 \theta\)
恆等式 4： \(1 + \cot^2 \theta \equiv \text{cosec}^2 \theta\)
例子：如果一個方程式同時包含 \(\tan^2 \theta\) 和 \(\sec \theta\)，請使用恆等式 3 將所有項轉為 \(\sec \theta\)，這樣就能像解二次方程式一樣輕鬆求解了！
重點歸納：當你在方程式中看到平方三角項，並且想要將它們與其他項「配對」時，就使用這些恆等式。
3. 合角公式 (Compound Angle Formulae)
如果你需要找出兩個角度相加後的正弦值，例如 \(\sin(A + B)\)，該怎麼辦？注意：它絕對不等於 \(\sin A + \sin B\)！
相反，我們使用這些標準規律：
- \(\sin(A \pm B) \equiv \sin A \cos B \pm \cos A \sin B\)
- \(\cos(A \pm B) \equiv \cos A \cos B \mp \sin A \sin B\) (注意餘弦公式中的符號會相反！)
- \(\tan(A \pm B) \equiv \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}\)
你知道嗎？這些公式讓我們能求出一些未知角度的精確值。例如，要找出 \(\sin(75^\circ)\)，你可以將它寫成 \(\sin(45^\circ + 30^\circ)\) 並代入公式求解！
重點歸納：如果你看到三角函數內有兩個不同的角度，就請祭出合角公式。
4. 倍角公式 (Double Angle Formulae)
這是合角公式的一個特殊情況，即 \(A\) 和 \(B\) 相等時的情況（所以 \(A + A = 2A\)）。這些在考試中非常常見。
正弦倍角：
\(\sin 2\theta \equiv 2 \sin \theta \cos \theta\)
餘弦倍角（「三重威脅」）：
這個公式比較特別，因為它有三種形式。你可以選擇最適合你題目的一種！
1. \(\cos 2\theta \equiv \cos^2 \theta - \sin^2 \theta\)
2. \(\cos 2\theta \equiv 2\cos^2 \theta - 1\) (若題目只有餘弦項，用這個最好)
3. \(\cos 2\theta \equiv 1 - 2\sin^2 \theta\) (若題目只有正弦項，用這個最好)
正切倍角：
\(\tan 2\theta \equiv \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}\)
重點歸納：利用這些公式將 \(2\theta\) 「降級」為 \(\theta\)，這樣你的方程式中所有部分就能使用相同的角度。
5. R-公式 (R-Formula / Harmonic Form)
有時你會看到像 \(3\sin \theta + 4\cos \theta\) 這樣的算式。因為同時有兩個不同的波動，解起來很困難。R-公式 讓我們能將它們合併成單一個波。
我們可以將 \(a \sin \theta \pm b \cos \theta\) 寫成：
\(R \sin(\theta \pm \alpha)\) 或 \(R \cos(\theta \mp \alpha)\)
步驟流程：
- 找出 R：使用畢氏定理！\(R = \sqrt{a^2 + b^2}\)。
- 找出 \(\alpha\)：使用 \(\tan \alpha = \frac{b}{a}\)（請務必使用 \(a\) 和 \(b\) 的正值）。
- 改寫：將它們放回單一的正弦或餘弦括號中。
現實生活類比：想像兩個人以略微不同的節奏推鞦韆。鞦韆並不會同時以兩種方式擺動；它只會跟隨一個單一的、合併後的節奏。R-公式就是在找出那個「合併後的節奏」。
加分小撇步：轉成這種形式後，最大值就是 \(R\)，而最小值就是 \(-R\)。這對於處理像潮汐或摩天輪這類「建模」題非常有用！
6. 證明恆等式的必備技巧
考試題目經常要求你「證明 [左式] \(\equiv\) [右式]」。如果一開始覺得很難也不用擔心——這就像解謎一樣！以下是你的攻略指南：
- 從「較複雜」的一側開始：將龐大的算式簡化通常比展開小型算式來得容易。
- 將一切轉為正弦和餘弦：如果你看到 \(\tan, \sec, \text{cosec}\) 或 \(\cot\)，將它們換成 \(\sin\) 和 \(\cos\)。通常，項與項之間會產生漂亮的抵銷。
- 尋找平方項：如果你看到 \(\sin^2 \theta\)，考慮將它換成 \(1 - \cos^2 \theta\)。
- 通分：如果你正在進行分式相加，請先進行通分。
- 不要放棄！如果卡住了，畫一條線，試著從另一側反向推導。如果兩邊在中間匯合了，你就成功了！
重點摘要：
- 倒數： \(\sec, \text{cosec}, \cot\)。
- 平方： \(1 + \tan^2 = \sec^2\) 以及 \(1 + \cot^2 = \text{cosec}^2\)。
- 合角/倍角： 用它們來改變角度的「速度」或組合。
- R-公式： 用它將兩個波合併成一個。