歡迎來到圓形三角學的世界！
在過去，你可能認為正弦 (sine)、餘弦 (cosine) 和 正切 (tangent) 只存在於直角三角形中。但如果你遇到 \(120^\circ\) 這樣的角度，甚至是像 \(-45^\circ\) 這樣的負角，又該怎麼辦呢？這些角度根本無法放入直角三角形內！
在本章中，我們將會「解鎖」三角學，讓它適用於你想像得到的任何角度（或稱「自變數」）。我們不再局限於三角形，而是轉向圓形。如果剛開始覺得這有點奇怪，別擔心——一旦你看出了規律，這就像是掌握了宇宙的密碼一樣！
1. 單位圓：三角學的大本營
為了理解所有角度的三角函數，我們使用單位圓 (Unit Circle)。這是一個在圖表上以原點 \((0,0)\) 為中心，半徑為 \(1\) 的圓。
想像一個點 \(P\) 在這個圓上移動。角度 \(\theta\) 總是從正 x 軸開始，並以逆時針方向旋轉。
- 該點的 x 座標永遠是 \(\cos \theta\)。
- 該點的 y 座標永遠是 \(\sin \theta\)。
- 正切 (tangent) 是從原點到該點線段的斜率：\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)。
類比：把單位圓想像成時鐘。時鐘指針不是用來報時的，而是根據它們指向的位置告訴我們正弦和餘弦的值！
快速複習箱：
正角：逆時針旋轉。
負角：順時針旋轉。
半徑：永遠是 \(1\)。
重點提示：\(\cos \theta\) 代表你離 y 軸有多「遠」（橫向位置）；\(\sin \theta\) 代表你離 x 軸有多「高」或「低」（縱向位置）。
2. 四個象限（CAST 圖）
由於點在圖表上移動，\(\sin\)、\(\cos\) 和 \(\tan\) 的值將根據角度所在的「街區」（象限）而變為正值或負值。
象限分佈：
1. 第一象限 (\(0^\circ\) 至 \(90^\circ\))：全 (A)部皆為正值。
2. 第二象限 (\(90^\circ\) 至 \(180^\circ\))：僅 正弦 (S) 為正值。
3. 第三象限 (\(180^\circ\) 至 \(270^\circ\))：僅 正切 (T) 為正值。
4. 第四象限 (\(270^\circ\) 至 \(360^\circ\))：僅 餘弦 (C) 為正值。
記憶法：使用口訣 CAST（從右下角開始，逆時針旋轉），或者「All Silver Tea Cups」（全銀茶杯，從右上角開始，逆時針旋轉）。
你知道嗎？這解釋了為什麼 \(\sin(150^\circ)\) 是正值（它在正弦象限），但 \(\cos(150^\circ)\) 是負值！
重點提示：象限決定了你的答案是正號還是負號。務必先檢查這一點！
3. 找出任何角度的值
我們如何計算 \(\cos(210^\circ)\) 而不是只會在計算機上亂按呢？我們使用參考角 (Reference Angle)（或稱主角度）。
步驟流程：
1. 畫出角度：看看它落在哪個象限。
2. 找出與 x 軸的銳角：這就是你的「參考角」。（永遠找水平的 x 軸，絕對不要找垂直的 y 軸！）
3. 應用 CAST 規則：判斷結果是 \(+\) 還是 \(-\)。
4. 整合：結合參考角的三角函數值寫出最終答案。
例子：求 \(\tan(300^\circ)\)。
1. \(300^\circ\) 位於第四象限。
2. 與 x 軸（\(360^\circ\)）的夾角為 \(360 - 300 = 60^\circ\)。
3. 在第四象限，僅 餘弦 (C) 為正，所以 正切為負。
4. 答案：\(-\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}\)。
避免常見錯誤：學生經常誤將其與 y 軸 的夾角計算。永遠要從水平 x 軸來量度你的參考角！
4. 你必須掌握的精確值
OCR 課程大綱要求你熟記某些特定角度的精確值。這些是考試題目的「基本功」。
記憶這些值的「平方根技巧」：
寫下 \(0, 1, 2, 3, 4\)。
全部開根號：\(\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\)。
全部除以 \(2\)：\(\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{2}{2}\)。
這就得到了 \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) 的正弦值！
總結表（角度制）：
\( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
\( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \tan(45^\circ) = 1 \)
\( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)
第二階段延伸：對於 A Level，你還必須知道這些在弧度 (Radians) 下的表示法（\(\pi = 180^\circ\)）。
例如：\(30^\circ = \frac{\pi}{6}\), \(45^\circ = \frac{\pi}{4}\), \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\)。
5. 圖形、對稱性與週期性
三角函數會自我重複，這稱為週期性 (periodicity)。
- 正弦與餘弦：每 \(360^\circ\)（或 \(2\pi\)）重複一次。
- 正切：每 \(180^\circ\)（或 \(\pi\)）重複一次。
對稱性技巧：
\(\sin\) 和 \(\cos\) 的圖形非常圓滑且對稱，這引導出以下有用的規則：
1. 正弦是奇函數：\(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\)
2. 餘弦是偶函數：\(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\)（負號直接消失！）
3. 補角正弦：\(\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta\)
鼓勵一下：圖形是你最好的朋友！如果你在計算上卡住了，快速畫個波形草圖通常就能看出哪裡是正值、哪裡是負值。
重點提示：因為圖形會無限重複，通常會有無限多個角度給出相同的三角函數值。在考試中，你通常會被限定在一個特定的範圍內，例如 \(0 \le \theta < 360^\circ\)。
成功檢查清單：
1. 你能畫出單位圓並標記 \(\cos\) 和 \(\sin\) 嗎？
2. 你是否熟背 CAST 圖？
3. 你能找出與 x 軸的參考角嗎？
4. 你是否記住了 \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) 的精確值？
如果你能做到這四點，你就已經掌握了所有角度三角學的基礎！