歡迎來到基礎三角學！
歡迎來到 A Level 數學中最實用的章節之一！三角學主要研究三角形邊與角之間的關係。雖然初看之下似乎有無數的公式，但這些其實只是幫助你處理幾何圖形的工具。無論你未來想成為建築師、機師還是遊戲開發人員，三角學都將是你最好的夥伴。
如果你對 GCSE 的基礎知識感到生疏，別擔心，我們會在進入精彩的 A Level 內容前先快速複習一下！
1. 直角三角形：基石
在開始任何運算前，我們必須能夠根據特定的角（通常稱為 \(\theta\)）正確標示直角三角形的邊。
- 斜邊 (Hypotenuse)：最長的一邊，位於直角的對面。
- 對邊 (Opposite)：位於角 \(\theta\) 對面的邊。
- 鄰邊 (Adjacent)：位於角 \(\theta\) 旁邊的邊（斜邊除外）。
SOH CAH TOA 助記法
這是記憶三個主要三角比的經典方法：
- SOH：\(\sin \theta = \frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}}\)
- CAH：\(\cos \theta = \frac{\text{鄰邊}}{\text{斜邊}}\)
- TOA：\(\tan \theta = \frac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}}\)
快速檢查：計算機設定清單
務必檢查你的計算機模式！對於這一章，請確保計算機顯示 'D' 或 'DEG'（角度制）。如果你計算時出現數學錯誤或得出非常奇怪的小數，通常就是這個設定的問題。
重點提示： 如果你有一個直角三角形並已知兩個資訊（例如一條邊和一個角），你就可以利用 SOH CAH TOA 求出所有其他數值。
2. 正弦定理與餘弦定理
如果三角形沒有直角怎麼辦？不用慌！我們有兩條強大的法則來處理「非直角」三角形。
正弦定理 (Sine Rule)
當你擁有「成對關係」（即一個角及其對邊）時使用。
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$
注意：如果你要計算角度，也可以將這些分式上下顛倒！
餘弦定理 (Cosine Rule)
你可以把它看作是畢氏定理更成熟、更進階的版本。當你有兩條邊及其夾角（SAS 情況），或已知全部三條邊時使用。
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
若要計算角度，請重排公式為：
$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$
三角形面積
你不再需要垂直高度了！如果你知道兩條邊（\(a\) 和 \(b\)）及其夾角（\(C\)）：
$$\text{面積} = \frac{1}{2}ab \sin C$$
你知道嗎？
正弦定理廣泛應用於方位角 (Bearings) 和導航中。如果一艘船以 \(045^\circ\) 的方位角航行了 10 公里，你就可以利用這些法則精確計算出它向北和向東移動了多少距離。
重點提示： 用正弦定理處理成對關係，用餘弦定理處理「邊-角-邊」或「邊-邊-邊」的情況。
3. 三角函數的準確值
在考試中，你需要記住特定角度的準確值而無需使用計算機。這是常見的「不准使用計算機」類型的題目。
30°： \(\sin(30) = \frac{1}{2}\), \(\cos(30) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\tan(30) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
45°： \(\sin(45) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos(45) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\tan(45) = 1\)
60°： \(\sin(60) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos(60) = \frac{1}{2}\), \(\tan(60) = \sqrt{3}\)
0° 和 90°： \(\sin(0)=0\), \(\cos(0)=1\), \(\sin(90)=1\), \(\cos(90)=0\)
記憶法：平方根技巧
要記住 \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) 的 \(\sin \theta\) 值，請寫下：
\(\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\)
這簡化後正是上面的數值！
重點提示： 練習寫出準確值表格，直到你能在 30 秒內默寫出來。
4. 單位圓與任意角
到目前為止，角度都在 \(0^\circ\) 到 \(90^\circ\) 之間。但在 A Level 中，我們會接觸到如 \(150^\circ\) 甚至 \(300^\circ\) 的角度。我們利用單位圓（半徑為 1 的圓）來定義這些角度。
- 圓上的 x 坐標 為 \(\cos \theta\)。
- 圓上的 y 坐標 為 \(\sin \theta\)。
- 線段的斜率 為 \(\tan \theta\)。
CAST 圖表
由於圓形會循環，不同的角度可能有相同的三角函數值。CAST 圖表能告訴你函數在哪個象限為正：
- 第一象限 (0-90°): All（全部）皆為正。
- 第二象限 (90-180°): 只有 Sin 為正。
- 第三象限 (180-270°): 只有 Tan 為正。
- 第四象限 (270-360°): 只有 Cos 為正。
重點提示： 利用單位圓的對稱性或 CAST 圖表來找出三角方程的「次要」解。
5. 三角函數圖形
視覺化函數有助於你理解它們的變化規律。
- \(\sin \theta\)：由 (0,0) 開始，在 1 與 -1 之間波動，每 \(360^\circ\) 重複一次。
- \(\cos \theta\)：由 (0,1) 開始，在 1 與 -1 之間波動，它實際上只是 \(\sin\) 圖形向左平移了 \(90^\circ\)。
- \(\tan \theta\)：在 \(90^\circ, 270^\circ\) 等位置有漸近線 (Asymptotes)（函數永遠不會觸碰的直線），數值會趨向無限大！
類比：摩天輪
將 \(\sin \theta\) 圖形想像成摩天輪。當輪子轉動（角 \(\theta\)）時，你離地面的高度會以平滑、循環的波浪狀上下起伏。這正是正弦波所代表的意義！
重點提示： 熟悉圖形的「形狀」有助於發現錯誤。例如，如果你算出 \(\sin \theta = 2\)，你就知道這是不可能的，因為圖形永遠不會超過 1！
6. 三角恆等式
恆等式是永遠成立的方程式，常用於簡化複雜的算式或解方程。
1. 正切恆等式： \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta\)
2. 畢氏恆等式： \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
常見錯誤警示！
留意符號表示法：\(\sin^2 \theta\) 代表 \((\sin \theta)^2\)，這並非等於 \(\sin(\theta^2)\)。務必小心那個小「2」的位置！
重點提示： 如果方程式同時包含 \(\sin \theta\) 和 \(\cos \theta\)，試著使用恆等式將所有項轉換為同一種三角函數。
7. 解三角方程
這是所有概念的結合點。你經常會被要求在 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\) 的範圍內求解，例如 \(\sin(2\theta) = 0.5\)。
逐步指引：
- 分離： 將三角函數單獨留在一邊（例如 \(\sin \theta = \dots\)）。
- 主值： 在計算機上使用反三角函數（例如 \(\theta = \sin^{-1}(0.5)\)）。
- 尋找範圍： 如果角度是 \(2\theta\)，請調整你的搜尋範圍（例如，若 \(0 \le \theta \le 360\)，則 \(0 \le 2\theta \le 720\)）。
- 次要值： 使用 CAST 圖表或圖形對稱性找出範圍內的其他角度。
- 最終調整： 如果你解的是 \(2\theta\)，最後將得到的答案除以 2 即可得到 \(\theta\)。
如果覺得棘手，不必擔心……
解包含 \(2\theta\) 或 \(3\theta\) 的方程式是學生最容易失分的地方之一。只需記住：先找出所有角度，最後再除以係數。
重點提示： 大多數三角方程都有不止一個答案。務必檢查你的範圍，並利用圖形或 CAST 圖表找出所有解！