歡迎來到複角公式！

在之前的三角學學習中，你已經學過如何處理單一角度，例如 \(\sin(\theta)\) 或 \(\tan(x)\)。但如果我們想求兩個角度相加後的正弦值，例如 \(\sin(A + B)\)，該怎麼辦呢？

在本章中，我們將解鎖複角公式（Compound Angle Formulae，有時也稱為加法公式）的奧秘。這些強大的工具能讓我們將複雜的角度拆解成較簡單的部分。無論你是以奪取 A* 為目標，還是只想弄懂基礎概念，這些筆記都將引導你掌握 OCR MEI Mathematics B (H640) 課程中必須熟記的恆等式。

如果起初覺得符號太多，別擔心！ 一旦你看出了當中的規律，就會變得輕鬆得多——就像學習一種新遊戲的規則一樣。

1. 加法與減法公式

本章的核心是六個主要的公式。它們讓我們能夠展開兩個角度之和或差的三角函數。

正弦公式 (Sine Formulae)

\(\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\)
\(\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\)

記憶小撇步： 對於正弦 (Sine)，符號保持相同 (Same)（加號仍為加號，減號仍為減號）。各項「混合」在一起：Sin-Cos-Cos-Sin。

餘弦公式 (Cosine Formulae)

\(\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B\)
\(\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\)

記憶小撇步： 對於餘弦 (Cosine)，符號是相反的 (Contrary)（加號變減號，減號變加號）。各項則與自己的「好朋友」在一起：Cos-Cos 和 Sin-Sin。

正切公式 (Tangent Formulae)

\(\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}\)
\(\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}\)

逐步範例：求精確值
假設你需要不使用計算機求出 \(\sin(75^\circ)\) 的精確值。
1. 識別： 我們已知 \(30^\circ, 45^\circ\) 和 \(60^\circ\) 的精確值。
2. 拆解： \(75^\circ = 45^\circ + 30^\circ\)。
3. 套用： 使用 \(\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\)。
4. 代入： \(\sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)\)。
5. 計算： \((\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)。

避免常見錯誤：
千萬不要假設 \(\sin(A + B)\) 等於 \(\sin A + \sin B\)。這是一個非常常見的陷阱！如果你忘了，試著代入數字：\(\sin(30 + 30) = \sin(60) = 0.866\)，但 \(\sin 30 + \sin 30 = 0.5 + 0.5 = 1\)。它們絕對不相等！

重點總結： 複角公式用於將複雜的角度拆解成 \(30^\circ, 45^\circ\) 和 \(60^\circ\) 等「友好」的角度。

2. 倍角公式 (Double Angle Formulae)

如果兩個角度相同會怎樣？如果令 \(A = \theta\) 且 \(B = \theta\)，我們就會得到倍角公式。

正弦倍角

\(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\)

餘弦倍角

這個公式比較特別，因為它有三種寫法。它們全部相等，但選擇正確的版本可以省下很多功夫！
1. \(\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta\)
2. \(\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1\)
3. \(\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta\)

正切倍角

\(\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}\)

快速回顧：我該使用哪個餘弦版本？
- 如果你的方程式只含有 \(\cos\theta\)，請使用 \(2\cos^2\theta - 1\) 的版本。
- 如果你的方程式只含有 \(\sin\theta\)，請使用 \(1 - 2\sin^2\theta\) 的版本。
- 如果你想抵銷某些項，請選擇最能幫到你的版本！

你知道嗎？
倍角公式被用於電腦圖形學和電子遊戲編程中，用來計算光線如何在不同角度下從曲面上反射！

重點總結： 倍角公式只是複角公式的一種特殊情況，即兩個角度完全相同。

3. R-公式形式：\(a\cos\theta \pm b\sin\theta\)

有時你會看到像 \(3\cos\theta + 4\sin\theta\) 這樣的表達式。因為包含兩種不同的三角函數，這類方程式很難求解。技巧在於將它們轉化為一個單一的波。

我們可以將 \(a\cos\theta \pm b\sin\theta\) 寫成：
\(R\cos(\theta \mp \alpha)\) 或 \(R\sin(\theta \pm \alpha)\)

如何求 R 和 \(\alpha\)：

1. 計算 \(R\)： 使用畢氏定理！\(R = \sqrt{a^2 + b^2}\)。這是最大值（波的高度）。
2. 計算 \(\alpha\)： 使用 \(\tan \alpha = \frac{\text{正弦係數}}{\text{餘弦係數}}\)（通常情況下）。最好展開所選的公式並比較係數，以確保準確。

類比： 想像兩個人在不同時間推動鞦韆。\(R\) 值告訴你鞦韆達到的總高度，而 \(\alpha\) 告訴你相對於標準波形，鞦韆時間上的延遲（或位移）。

快速複習箱：最大值與最小值
函數 \(f(\theta) = R\sin(\theta + \alpha)\) 具有：
- 最大值： \(R\)
- 最小值： \(-R\)
這對於求函數的值域或圖形上的最高點非常有用。

重點總結： R-公式將兩個不同的三角項合併為一，使方程式更容易求解。

4. 解方程式與證明恆等式

現在你已經掌握了這些工具，考試會要求你利用它們來求解方程式，或者證明表達式的一邊等於另一邊。

證明題的小撇步：

  • 從較複雜的一邊開始： 「拆解」一個大的表達式通常比「建立」一個小的更容易。
  • 尋找倍角： 如果你看到 \(2\theta\)，試著立即將其展開。
  • 將所有項轉換為 Sin 和 Cos： 如果你在 \(\tan\), \(\sec\) 或 \(\cot\) 上卡住了，轉回基礎形式通常能讓你找到解題路徑。
  • 留意符號： 特別是 \(\cos(A + B)\)——記得它展開後會變成減號！

範例目標： 解 \(\sin 2\theta = \cos \theta\)（範圍 \(0 \le \theta \le 360^\circ\)）。
1. 使用倍角公式：\(2\sin\theta\cos\theta = \cos\theta\)。
2. 不要除以 \(\cos\theta\)！ 相反地，將其移到同一邊：\(2\sin\theta\cos\theta - \cos\theta = 0\)。
3. 因式分解：\(\cos\theta(2\sin\theta - 1) = 0\)。
4. 令每一部分為零：\(\cos\theta = 0\) 或 \(\sin\theta = 0.5\)。
5. 求出你的角度！

第 14 章總結：
複角與倍角公式不僅僅是「更多要學習的恆等式」，它們是連接三角學不同部分的橋樑。通過掌握這些展開式，你可以應對 OCR MEI H640 考試中出現的幾乎任何三角方程式或證明題。持續練習這些展開，它們終將成為你的本能！