Constant acceleration formulae

歡迎來到等加速度運動！

在本章中，我們將探討一維運動學（Kinematics in 1 Dimension）。運動學只是一個描述「研究物體運動」的學術名詞。只要物體在運動過程中的加速度保持不變，我們就能學會預測物體的位置、速度以及到達目的地所需的時間。

試著這樣想：如果你開車時將油門踩下並保持在完全相同的位置，你的速度會以穩定的速率增加。這種穩定的增加就是我們所說的等加速度（constant acceleration）。如果剛開始覺得這有點抽象也不用擔心；一旦你學會了「SUVAT」系統，這就像解謎題一樣簡單！

1. 五個關鍵變數：認識「SUVAT」

為了處理這些問題，我們使用五個變數。我們通常稱之為 SUVAT 變數，方便記憶。每個字母代表一個特定的物理量：

s = 位移（Displacement）（從起點出發的直線距離，單位為米，\( \text{m} \)）。
u = 初速度（Initial Velocity）（計時開始瞬間的速度，單位為 \( \text{ms}^{-1} \)）。
v = 末速度（Final Velocity）（計時結束瞬間的速度，單位為 \( \text{ms}^{-1} \)）。
a = 等加速度（Constant Acceleration）（每秒速度變化的量，單位為 \( \text{ms}^{-2} \)）。
t = 時間（Time）（運動持續的時間，單位為秒，\( \text{s} \)）。

快速複習：方向很重要！

在一維運動學中，物體可以向前或向後（或向上和向下）移動。我們通常會指定一個方向為正方向（例如「向上」或「向右」）。如果物體向相反方向移動，其位移和速度就會變成負值。如果物體在正方向上減速，那麼它的加速度就是負的！

關鍵要點：在開始解題前，先列出 s, u, v, a, t 並填入已知數值。你通常需要三個已知數值來求出另外兩個未知數。

2. 等加速度公式

這些是本章的核心工具。你需要熟練運用它們，並了解它們的推導來源。

1. \( v = u + at \)
2. \( s = \frac{1}{2}(u + v)t \)
3. \( s = ut + \frac{1}{2}at^2 \)
4. \( s = vt - \frac{1}{2}at^2 \)
5. \( v^2 = u^2 + 2as \)

如何選擇正確的公式：

每個公式都缺少其中一個 SUVAT 變數。要選擇正確的公式，請查看你沒有且不需要的變數：
- 沒有 s？使用公式 1。
- 沒有 a？使用公式 2。
- 沒有 v？使用公式 3。
- 沒有 u？使用公式 4。
- 沒有 t？使用公式 5。

你知道嗎？這些公式僅在加速度保持恆定時才適用。如果加速度發生變化（例如汽車換檔時），你必須將問題拆分為多個部分處理，或使用微積分！

3. 公式推導

MEI 課程大綱要求你掌握這些公式的推導。最簡單的方法是利用速度-時間圖（Velocity-Time graph）。

想像一個圖表，速度從 \( u \) 開始，經過時間 \( t \) 後達到 \( v \)。
推導 \( v = u + at \)： 由於加速度是速度-時間圖的斜率（gradient）：
\( a = \frac{\text{速度變化量}}{\text{時間}} = \frac{v - u}{t} \)。整理後得到 \( at = v - u \)，即 \( v = u + at \)。

推導 \( s = \frac{1}{2}(u + v)t \)： 位移是圖表下的面積。對於一個梯形（圖表的形狀），其面積為平行邊的平均值乘以寬度：
\( \text{面積} = \frac{(u + v)}{2} \times t \)。因此，\( s = \frac{1}{2}(u + v)t \)。

關鍵要點：如果在考試中忘記了某個公式，試著畫一個簡單的速度-時間圖，並計算其斜率或面積！

4. 重力問題（自由落體）

等加速度在現實中最常見的例子之一就是物體在重力作用下的自由落體。在地球上，我們將其模擬為向下的恆定加速度。

g 的值：在 MEI 考試中，除非題目另有說明，否則一律使用 \( g = 9.8 \, \text{ms}^{-2} \)。
常見錯誤：學生常忘記如果選擇「向上」為正方向，則 \( a = -9.8 \)。如果你從懸崖上丟下物體，通常選擇「向下」為正方向會比較簡單，此時 \( a = 9.8 \)。

重力問題解題步驟：

1. 選擇一個正方向（如果物體向上拋，通常選「向上」最方便）。
2. 列出 SUVAT：如果是被丟下，\( u = 0 \)。如果物體撞擊地面，並不代表 \( v = 0 \)（這代表撞擊前那一瞬間的速度）。
3. 設定 \( a \)：如果「向上」為正，則 \( a = -9.8 \)。
4. 找出所需變數並選擇公式。

關鍵要點：當拋體達到最高點時，其垂直速度 (\( v \)) 在那一瞬間永遠為零！

5. 解題技巧與常見陷阱

力學問題難在設定過程，而不是數學運算。以下是如何避開常見陷阱的方法：

- 一致性：確保單位統一。如果速度單位是 km/h 而時間單位是秒，你必須先將 km/h 轉換為 m/s。
- 「隱藏的」零：留意「從靜止開始」（\( u = 0 \)）或「停止」（\( v = 0 \)）等字眼。
- 減速：如果物體正在減速，其加速度的符號必須與速度相反。
- 兩段式運動：如果汽車先加速然後保持恆定速度行駛，你必須進行兩次獨立的 SUVAT 計算。第一段運動的「末速度」將成為第二段運動的「初速度」。

重點總結

• SUVAT 代表 s（位移）、u（初速度）、v（末速度）、a（加速度）和 t（時間）。
• 這些公式僅適用於加速度保持不變的情況。
• 地球上的重力模擬為 \( a = 9.8 \, \text{ms}^{-2} \)，方向向下。
• 在開始計算前，務必先設定好正方向。