Implicit differentiation

歡迎來到隱函數微分！

到目前為止，你可能大部分時間都在處理「顯函數」微分，即 y 獨自在等式一側的情況，例如 \(y = 3x^2 + 5\)。這被稱為顯函數（Explicit function），因為它明確地告訴你 y 是什麼。

但如果 x 和 y 混在一起，例如圓的方程 \(x^2 + y^2 = 25\)，情況又會如何呢？試圖將 y 單獨移到一邊可能會變得非常混亂，甚至有時根本無法做到！如果一開始覺得很棘手也不用擔心；隱函數微分（Implicit differentiation）只是一種聰明的方法，讓我們無需先整理方程，就能直接找出斜率（\(\frac{dy}{dx}\)）。

本節摘要：當 y 不是公式的主項時，我們就會使用隱函數微分。

1. 顯函數 vs. 隱函數：有什麼區別？

你可以把顯函數想像成一個預先做好的三文治：你可以清楚看到裡面有什麼（\(y = \text{成分}\)）。
而隱函數關係則像是一個墨西哥捲餅（burrito）：所有的成分（x 和 y）都混在一起包起來了（\(x^2 + y^2 = 25\)）。

• 顯函數： \(y = 2x + 3\)。要求斜率，我們直接按平常的方法微分即可。
• 隱函數： \(x^2 + y^2 = 10\)。要求斜率，我們對每一個項按其原本的樣子進行微分。

你知道嗎？自然界和工程學中許多優美的曲線，例如行星的軌道或冷卻塔的形狀，在自然狀態下都是由隱函數方程來描述的！

2. 隱函數微分的「黃金法則」

這裡的秘密武器是連鎖律（Chain Rule）。由於 y 實際上是 x 的函數，所以每當你對包含 y 的項進行微分時，都必須為它加上一個「標籤」\(\frac{dy}{dx}\)。

快速回顧：連鎖律的邏輯

如果你有 \(y^2\)，想要對 \(x\) 微分：
1. 對 y 微分（得到 \(2y\)）。
2. 乘以 \(\frac{dy}{dx}\)。
所以，\(y^2\) 的導數就是 \(2y \frac{dy}{dx}\)。

記憶口訣：「微分後貼標籤」（Differentiate and Tag）
正常對 y 項微分，然後給它「貼」上一個 \(\frac{dy}{dx}\)。如果你是對 x 項微分，則不需要貼標籤！

重點提示： \(\frac{d}{dx}(f(y)) = f'(y) \frac{dy}{dx}\)。

3. 逐步成功指南

讓我們找出曲線 \(x^2 + y^3 = 5x\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。

步驟 1：對所有項關於 x 微分。
\(x^2\) 的導數是 \(2x\)。
\(y^3\) 的導數是 \(3y^2 \frac{dy}{dx}\)（記得加上標籤！）。
\(5x\) 的導數是 \(5\)。
我們的方程現在變成了： \(2x + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 5\)

步驟 2：將所有包含 \(\frac{dy}{dx}\) 的項移到一邊。
\(3y^2 \frac{dy}{dx} = 5 - 2x\)

步驟 3：解出 \(\frac{dy}{dx}\)。
等式兩邊同時除以 \(3y^2\)：
\(\frac{dy}{dx} = \frac{5 - 2x}{3y^2}\)

快速檢查表：
1. 微分所有項（\(x\) 項正常微分，\(y\) 項微分後加標籤）。
2. 將 \(\frac{dy}{dx}\) 項移到左邊。
3. 將其他項移到右邊。
4. 因式分解並除以係數。

4. 積法則（Product Rule）的陷阱

這是大多數學生最容易丟分的地方！如果你看到像 \(xy\) 或 \(x^2y\) 這樣的項，你必須使用積法則，因為你在將兩個函數（\(x\) 和 \(y\)）相乘。

範例：微分 \(xy\)。
令 \(u = x\) 且 \(v = y\)。
\(\frac{du}{dx} = 1\) 且 \(\frac{dv}{dx} = \frac{dy}{dx}\)。
使用 \(u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\)，我們得到： \(x\frac{dy}{dx} + y(1)\)。
所以，\(\frac{d}{dx}(xy) = x\frac{dy}{dx} + y\)。

常見錯誤：千萬不要直接把 \(xy\) 的導數寫成 \(\frac{dy}{dx}\)。一定要時刻檢查 x 和 y 是否在相乘！

5. 現實範例：圓的斜率

讓我們求圓 \(x^2 + y^2 = 25\) 在點 \((3, 4)\) 處的斜率。

1. 微分： \(2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0\)（常數如 25 的導數永遠是 0！）。
2. 整理： \(2y\frac{dy}{dx} = -2x\)。
3. 孤立 \(\frac{dy}{dx}\)： \(\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}\)。
4. 代入點 \((3, 4)\)： 斜率 \(= -\frac{3}{4}\)。

重點提示：對於隱函數微分，你算出來的 \(\frac{dy}{dx}\) 通常會同時包含 x 和 y。這是非常正常的現象！

摘要檢查表

• 我能識別隱函數方程嗎？（混有 x 和 y）。
• 我是否記得每當對 y 項微分時都加上 \(\frac{dy}{dx}\)？
• 我有留意是否需要使用積法則嗎？（例如 \(xy\)）。
• 我記得常數（如 10 或 100）的導數是 0 嗎？

最後的小撇步：保持步驟整潔！在冗長的方程中很容易遺漏 \(\frac{dy}{dx}\)。使用括號可以幫助你清楚標示出那些「貼了標籤」的項。