歡迎來到不等式的世界！
在你至今的數學旅程中，可能大部份時間都在尋找 \(x\) 的確切數值。但在現實生活中，事情並非總是「相等」的。有時候我們只需要知道某個數值是否「足夠」或「過量」。無論是一座限重最多 20 噸的橋樑，還是需要至少 5 英鎊才能維持運作的銀行戶口，我們所處理的正是不等式。
在本章中，我們將超越「等號」的限制，學習如何描述數值的範圍。如果起初覺得有點棘手，請別擔心——一旦你掌握了「繪圖」技巧，就會發現這些題目其實比看起來簡單得多！
1. 線性不等式
線性不等式與線性方程式（例如 \(2x + 3 = 7\)）非常相似，但它們使用 \(<\)、\(>\)、\(\le\) 或 \(\ge\) 等符號。你可以使用解方程式時所用的「平衡」方法來解這些不等式，但必須記住一條黃金法則。
黃金法則
當你將不等式兩邊乘以或除以一個負數時，必須反轉不等號。
類比：想像它是一個蹺蹺板。如果你站在一邊，而有人把重力「反轉」了，所有東西都會上下顛倒！
例子：解 \(-3x < 12\)。
兩邊同除以 \(-3\)。因為我們除以了一個負數，所以 \(<\) 變成了 \(>\)。
答案：\(x > -4\)。
處理括號與分數
MEI 課程大綱要求你處理更複雜的線性不等式，包括括號和分數。只需像處理方程式一樣對待它們：先展開括號，並透過乘法來消去分數。
快速複習：
1. 將其視為方程式處理。
2. 如果乘以/除以負數，請反轉不等號。
3. 保持計算整潔，以免弄錯符號！
2. 圖解法
有時候，一張圖表勝過千言萬語。你需要能夠在圖表上表示不等式，特別是當涉及兩個變數時（例如 \(y > x + 1\)）。
如何繪畫不等式：
- 畫出直線：將不等式視為方程式來處理（例如 \(y = x + 1\)）。
- 實線還是虛線？對於嚴格不等式（\(<\) 或 \(>\)），請使用虛線，因為直線上的點不包括在內。對於 \(\le\) 或 \(\ge\)，請使用實線。
- 遮蔽區域：選取一個測試點（例如 \((0,0)\)），看看它是否使不等式成立。如果成立，就遮蔽那一側！
常見錯誤：學生經常忘記檢查直線應該是虛線還是實線。記憶小撇步：如果符號下方有一條「實心」的額外線（\(\le\)），那麼你在圖表上的線也是「實線」！
重點總結：圖解不等式定義的是一個區域，而不僅僅是一個單點。
3. 二次不等式
這些題目的難度更高。二次不等式看起來像 \(ax^2 + bx + c > 0\)。與線性不等式不同，你不能只靠移動數值來解題，必須透過繪圖。
三步解法：
- 解方程式：令二次式等於零，求出「臨界值」（透過因式分解或使用二次公式）。
- 繪畫曲線：以臨界值為 \(x\) 截距，畫出一個快速的「開口向上」或「開口向下」的拋物線。
- 選取區域：
- 如果不等式是 \(> 0\)，你需要的是曲線在 \(x\) 軸上方的部分。
- 如果不等式是 \(< 0\)，你需要的是曲線在 \(x\) 軸下方的部分。
例子：解 \(x^2 - 5x + 6 < 0\)。
1. 臨界值：\((x - 2)(x - 3) = 0\)，因此 \(x = 2\) 和 \(x = 3\)。
2. 繪圖：一個在 2 和 3 處與 \(x\) 軸相交的「開口向上」拋物線。
3. 選取：由於我們想要 \(< 0\)，我們看軸線下方的部分。這是 2 和 3 之間的「山谷」區域。
答案：\(2 < x < 3\)。
你知道嗎？繪圖可以防止你犯下「符號錯誤」。即使是頂尖數學家也會使用草圖來核對他們的邏輯！
4. 集合標記法 (Set Notation)
在 MEI Mathematics B 中，你需要使用集合標記法來撰寫答案。這只是列出「允許」數值的一種正式方式。
關鍵符號：
- \(\{x : ...\}\) 意指「滿足……的 \(x\) 集合」。
- \(\cup\) (聯集) 意指「或」。用於兩個分開的區域（例如 \(x < 1\) 或 \(x > 4\)）。
- \(\cap\) (交集) 意指「且」。用於一個單一的連接區域（例如 \(x > 2\) 且 \(x < 5\)）。
比較表：
不等式形式： \(2 < x < 5\)
集合標記形式： \(\{x : x > 2\} \cap \{x : x < 5\}\)
不等式形式： \(x \le 1\) 或 \(x \ge 4\)
集合標記形式： \(\{x : x \le 1\} \cup \{x : x \ge 4\}\)
總結：集合標記法只是讓你的最終答案看起來更「專業」的寫法。請確保使用花括號！
5. 模數不等式 (Modulus Inequalities)
模數符號 \(|x|\) 代表數值的「大小」或「絕對值」。簡單來說，它就是距離零的距離，而不考慮它是正數還是負數。
理解 \(|x - a| \le b\)
這是 MEI 考試中非常常見的格式。不要被它嚇倒！它簡單來說就是：「\(x\) 與 \(a\) 之間的距離小於或等於 \(b\)。」
類比：如果你被告知要保持在距離路燈 (\(a\)) 2 米 (\(b\)) 之內，你可以向左移動 2 米，或者向右移動 2 米。
例子：解 \(|x - 3| \le 2\)。
這意味著 \(x\) 在距離 3 的 2 個單位範圍內。
- 3 向左 2 個單位是 \(3 - 2 = 1\)。
- 3 向右 2 個單位是 \(3 + 2 = 5\)。
答案：\(1 \le x \le 5\)。
快速複習：
要解 \(|x - a| \le b\)，只需將其寫為：\(a - b \le x \le a + b\)。就是這麼簡單！
最終總結：重點摘錄
- 線性：如果乘以/除以負數，請反轉不等號。
- 圖解：\(\le\) 和 \(\ge\) 使用實線；\(<\) 和 \(>\) 使用虛線。
- 二次：務必繪畫拋物線來找出區域。
- 模數：將其視為「到某點的距離」。
- 集合標記：外部區域（或）用 \(\cup\)；內部區域（且）用 \(\cap\)。
繼續練習！不等式的核心在於視覺化數線。一旦你在腦海中能看到這些「間隙」和「區域」，你就會成為這方面的專家。