歡迎來到微積分工具箱！

在之前的學習中，你已經學會如何對 \(x^2\) 或 \(5x\) 這些簡單項進行微分。但如果函數變得「雜亂無章」該怎麼辦？如果兩個函數相乘、相除，甚至像俄羅斯娃娃一樣層層嵌套呢？
別擔心，剛開始覺得棘手是很正常的！ 大多數同學起初都會覺得這些法則很複雜，但只要掌握了當中的規律，它們很快就會變成你的直覺。在本指南中，我們將會精通連鎖律 (Chain Rule)、乘法定律 (Product Rule) 以及除法定律 (Quotient Rule) —— 這些都是任何 A Level 數學學生必備的三大法寶。

1. 連鎖律：函數內的函數

當你遇到複合函數 (Composite function) 時，就需要使用連鎖律。這本質上就是一個「函數內的函數」。

如何辨識？

留意括號外有次方，或者函數被包在平方根或三角函數內的情況。
例子：\(y = (3x^2 + 1)^5\)。這裡，「內層」函數是 \(3x^2 + 1\)，而「外層」函數則是「某物體的 5 次方」。

公式

如果 \(y\) 是 \(u\) 的函數，而 \(u\) 又是 \(x\) 的函數，那麼：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \)

步驟拆解

  1. 找出內層函數，並將其設為 \(u\)。
  2. 對 \(u\) 關於 \(x\) 微分，得出 \(\frac{du}{dx}\)。
  3. 將原方程式改寫，用 \(u\) 代替括號部分。
  4. 對這個新方程式微分，得出 \(\frac{dy}{du}\)。
  5. 將這兩個結果相乘。

簡單的記憶技巧

很多同學喜歡用「由外到內」法則：
「先對外層微分（保持內層不變），然後乘以內層的導數。」

快速溫習：
例子：對 \(y = \sin(x^2)\) 微分
1. 內層是 \(x^2\)，其導數是 \(2x\)。
2. 外層是 \(\sin(\dots)\)，其導數是 \(\cos(\dots)\)。
3. 結果：\( \frac{dy}{dx} = 2x \cos(x^2) \)。

常見錯誤：忘了對內層括號微分。記得時刻檢查是否有「內層」部分需要單獨進行微分！

重點總結：連鎖律讓我們能像「剝洋蔥」一樣，一層一層地拆解函數。

2. 乘法定律：函數相乘

當兩個不同的 \(x\) 函數相乘時，我們使用乘法定律。

如何辨識？

留意兩個明顯不同的部分相乘，例如 \(x^2 \sin(x)\)。你不能直接把它們各自的導數相乘！

公式

如果 \(y = uv\)，其中 \(u\) 和 \(v\) 都是 \(x\) 的函數：
\( \frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \)

類比理解

將其想像成一場雙人表演。一個人站著不動，另一個人表演（微分），然後互換角色，最後將兩人的表演成果相加。

步驟拆解

  1. 將函數拆分為兩部分：\(u\) 和 \(v\)。
  2. 分別求出它們的導數：\(\frac{du}{dx}\) 和 \(\frac{dv}{dx}\)。
  3. 交叉相乘並相加：(第一項 \(\times\) 第二項的導數) + (第二項 \(\times\) 第一項的導數)。

口訣：
「左乘右導，加右乘左導」（導即導數）。

你知道嗎？
乘法定律最早由萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 在 17 世紀末提出。其實他第一次嘗試時也寫錯了，所以如果你第一次做錯了，千萬別灰心！

重點總結：當項目相乘時，其導數就是「部分乘導數」對之和。

3. 除法定律：函數相除

除法定律適用於分數形式，即分子和分母都是 \(x\) 的函數時。

如何辨識？

留意像 \(y = \frac{\ln(x)}{x^2}\) 這樣的代數分數。

公式

如果 \(y = \frac{u}{v}\)：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} \)

記憶法：低高口訣

這是微積分中最著名的口訣。稱分子為「高 (High)」，分母為「低 (Low)」：
「低 d 高，減高 d 低，再除以底部的平方。」

需避免的常見錯誤

  • 順序很重要！ 因為分子中間是減號，你必須先從分母函數 (\(v\)) 開始。如果調轉順序，答案的符號就會出錯。
  • 別忘了分母要平方： 同學經常在處理完複雜的分子後，卻忘了將整個式子除以 \(v^2\)。

溫馨提示：這個公式看起來很長，但分母 (\(v^2\)) 通常不需要展開。保留為 \((...)^2\) 即可！

重點總結：對於分數，請使用「低 d 高」口訣，並記得分母要平方。

4. 進階變化率（連鎖律的應用）

MEI 課程大綱也要求你將連鎖律應用於相關變化率 (Connected rates of change) 和反函數 (Inverse functions)。

相關變化率

這在現實建模中非常實用。例如，如果你知道氣球半徑增加的速度 (\(\frac{dr}{dt}\))，你就可以求出體積增加的速度 (\(\frac{dV}{dt}\))。
竅門：設置你的分數，讓它們能「消去」從而得到你想要的變量。
\( \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \times \frac{dr}{dt} \)

反函數微分

有時求 \(\frac{dx}{dy}\) 比求 \(\frac{dy}{dx}\) 更容易。課程大綱 (Ref: c15) 提醒我們：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} \)

快速溫習盒：
連鎖律：\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \)（俄羅斯娃娃）
乘法定律：\( uv' + vu' \)（雙人表演）
除法定律：\( \frac{vu' - uv'}{v^2} \)（低 d 高）

最後的小貼士：當你看到一個複雜函數時，問自己：「這是一個括號嗎？這是一個乘積嗎？還是這是一個分數？」 辨識出正確的法則就已經成功了 90%！