Transformations

歡迎來到圖形變換的世界！

在本章中，我們將學習如何對「母函數」（parent graph）——例如簡單的拋物線或直線——進行移動、拉伸或翻轉。你可以把它想像成使用修圖應用程式：你可以將圖片在螢幕上滑動（平移）、將其拉高或拉寬（拉伸），或是將其翻轉以查看其鏡像（反射）。

掌握這些變換在 A Level 數學中是一項「超能力」，因為它讓你無需繪製數十個點，就能在幾秒鐘內畫出複雜方程的草圖！如果剛開始覺得有點困惑，別擔心，我們會將其拆解為每次都適用的簡單規則。

1. 黃金法則：括號內 vs. 括號外

在我們探討具體的變動之前，有一個能讓整個章節變得易如反掌的「秘密技巧」。請隨時問自己：變動是發生在括號內還是括號外？

• 括號外： \(y = f(x) + a\) 或 \(y = a f(x)\)。這些會影響 y 坐標。它們是「誠實」的，會完全按照你的預期運作。如果你看到「+ 2」，圖形就會向上移動 2 個單位。
• 括號內： \(y = f(x + a)\) 或 \(y = f(ax)\)。這些會影響 x 坐標。它們是「說謊者」，會做出與你預期相反的動作。如果你看到「+ 2」，圖形實際上會向負方向（左）移動 2 個單位！

快速複習框：

括號外 = 垂直 (上下) = 正常邏輯
括號內 = 水平 (左右) = 相反邏輯

2. 平移：滑動圖形

平移會將圖形上的每個點沿相同方向移動相同的距離。我們通常使用向量來描述它：\(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)。

垂直平移（括號外）

方程：\(y = f(x) + k\)
效應：將圖形向上移動 \(k\) 個單位。如果 \(k\) 是負數，則會向下移動。
範例：若 \(f(x) = x^2\)，則 \(y = x^2 + 3\) 就是同一個圖形向上平移 3 個單位。

水平平移（括號內）

方程：\(y = f(x + k)\)
效應：將圖形向左移動 \(k\) 個單位。請記住「相反邏輯」——加號表示向左移（負方向），減號表示向右移（正方向）。
範例：\(y = f(x - 5)\) 會將圖形向右移動 5 個單位。

使用向量表示法

在你的 OCR MEI 考試中，你可能會被要求使用向量來描述平移。對於圖形 \(y = f(x - a) + b\)，其平移向量為 \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\)。

需避免的常見錯誤： 許多學生看到 \(f(x + 3)\) 就想把圖形向右移。請隨時提醒自己：「括號內是相反的世界！」

重點總結： 平移會滑動圖形，而不改變其形狀或方向。

3. 反射：鏡像效應

反射會將圖形翻轉到軸的另一側。你只需要知道兩種反射。

對 x 軸的反射（括號外）

方程：\(y = -f(x)\)
效應：所有正的 \(y\) 值變為負值，反之亦然。圖形會圍繞 \(x\) 軸上下翻轉。
比喻：想像 \(x\) 軸是湖面，反射就出現在水中。

對 y 軸的反射（括號內）

方程：\(y = f(-x)\)
效應：所有正的 \(x\) 值變為負值。圖形會圍繞 \(y\) 軸左右翻轉。

你知道嗎？ 如果一個圖形完美地對稱於 \(y\) 軸（例如 \(y = x^2\)），變換 \(y = f(-x)\) 根本不會改變它的外觀！

重點總結： 括號外的負號會垂直翻轉；括號內的負號會水平翻轉。

4. 拉伸：拉開與壓縮

拉伸透過將點拉離軸線或推向軸線來改變圖形的形狀。每次拉伸都有一個縮放因子 (Scale Factor, SF)。

垂直拉伸（括號外）

方程：\(y = a f(x)\)
效應：沿平行於 y 軸的方向進行縮放因子為 \(a\) 的拉伸。
如何操作：將所有的 y 坐標乘以 \(a\)。你的 \(x\) 坐標保持不變。
範例：\(y = 3f(x)\) 會讓圖形的高度變為原來的 3 倍。

水平拉伸（括號內）

方程：\(y = f(ax)\)
效應：沿平行於 x 軸的方向進行縮放因子為 \(\frac{1}{a}\) 的拉伸。
如何操作：這又是「相反世界」！如果你看到 2，你不是乘以 2，而是將所有的 \(x\) 坐標除以 2（即乘以 \(\frac{1}{2}\)）。
範例：\(y = f(2x)\) 實際上會水平壓縮圖形，使其寬度變為原來的一半。

記憶輔助： 對於水平拉伸，我們總是使用 \(x\) 旁邊那個數字的倒數（將分數上下顛倒）。

重點總結： 括號外的數字改變高度（SF 為 \(a\)）；括號內的數字改變寬度（SF 為 \(1/a\)）。

5. 組合變換：綜合運用

有時候，圖形會經歷超過一次的變化，例如 \(y = 2f(x + 3)\)。當這種情況發生時，你進行變換的順序非常重要！

分步法：

1. 先處理水平變換（括號內）： 觀察括號內部。如果你有 \(f(x + 3)\)，先將其向左移動 3 個單位。
2. 再處理垂直變換（括號外）： 觀察括號外部。如果你有 \(2f(...)\)，在移動之後，再將其垂直拉伸，縮放因子為 2。

小貼士： 如果你同時進行兩次垂直變換（例如拉伸和平移），請遵循標準的運算順序（BIDMAS/PEMDAS）。先乘以縮放因子，再進行平移加法。

從圖形辨識變換

如果你拿到一個經過變換的圖形並被要求寫出方程：
• 觀察轉折點或截距。它們移動了多少？
• 觀察點與點之間的距離。如果兩個波峰之間的距離翻倍了，代表進行了縮放因子為 2 的水平拉伸（這意味著 \(f(\frac{1}{2}x)\)）。
• 如果圖形上下顛倒了，則存在反射（\(-f(x)\)）。

重點總結： 進行組合變換時，由內而外操作。保持系統化！

最終總結清單

• \(f(x) + a\)： 向上平移 \(a\)。
• \(f(x + a)\)： 向左平移 \(a\)。
• \(a f(x)\)： 垂直拉伸，SF 為 \(a\)。
• \(f(ax)\)： 水平拉伸，SF 為 \(1/a\)。
• \(-f(x)\)： 對 x 軸反射。
• \(f(-x)\)： 對 y 軸反射。

如果剛開始覺得很難，不用擔心——試著用每一條規則練習繪製像 \(y = x^2\) 這樣簡單的曲線，很快你就會發現其中的規律！