歡迎來到影像與訊號的世界！
在本章中，我們將探索資訊是如何被收集、處理與分享的。無論你在自拍、觀看串流影片，還是觀察醫學影像掃描，你都在運用影像與訊號的物理學。我們將研究透鏡如何折射光波、電腦如何將影像視為數字，以及我們如何利用數位訊號將資訊傳送到世界各地。如果某些數學公式看起來很陌生，別擔心——我們會一步一步為你拆解！
1. 透鏡與光的曲率
在 GCSE 中，你可能學過將光視為「射線」。但在 A Level，我們也會將光視為波前 (wave-fronts)。試著想像池塘裡的漣漪；這些就是波前。
曲率與透鏡焦度
當光線來自遙遠的物體時，波前幾乎是平坦的（曲率為零）。凸透鏡 (converging lens) 會為這些波增加「曲率」，使它們彎曲並匯聚於一點（焦點）。
透鏡的焦度 (power, P) 是衡量其彎曲光線能力的大小。焦度大的透鏡比較「厚」，且具有較短的焦距 (focal length, f)。
公式： \(P = \frac{1}{f}\)
單位：焦度以屈光度 (dioptres, D) 為單位，焦距必須以米 (m) 為單位。
透鏡公式
為了找出影像形成的位置，我們使用透鏡公式。我們採用笛卡兒慣例 (Cartesian convention)（距離皆從透鏡中心測量）：
\(\frac{1}{v} = \frac{1}{u} + \frac{1}{f}\)
- \(u\): 物體到透鏡的距離。
- \(v\): 透鏡到影像的距離。
- \(f\): 透鏡的焦距。
放大率
放大率 (\(m\)) 告訴我們影像相對於物體變大或變小了多少。
\(m = \frac{\text{像高}}{\text{物高}} = \frac{v}{u}\)
快速複習：
- 凸透鏡使光波前彎曲度增加。
- 短焦距 = 高焦度。
- 計算焦度前，務必將焦距換算為米！
2. 數位影像：數字陣列
你有沒有試過把照片放大到看起來出現「格子」？那些格子就是像素 (pixels)（影像元素）。對電腦而言，一張影像只是一組龐大的數字網格（陣列, array）。
位元與位元組
電腦以位元 (bits)（0 與 1）儲存資訊。
- 位元 (bit) 是最小的資訊單位。
- 位元組 (byte) 等於 8 個位元。
- 用 \(b\) 個位元可以表示的選項數目 (\(N\)) 為： \(N = 2^b\)
- 相反地，若要找出表示特定數量的等級所需的位元數： \(b = \log_2 N\)
影像中的資訊量
要計算一張數位照片的總資訊量：
總資訊量 = 像素總數 \(\times\) 每個像素的位元數
影像處理
由於影像本質上就是數字，我們可以用數學運算來改變它們。這就是所謂的影像處理 (image processing)。你需要掌握以下五種技巧：
1. 調整亮度： 將所有像素值加上一個常數，影像就會變亮。
2. 調整對比度： 將像素值乘以一個常數，可以拉開明暗範圍。
3. 減少雜訊： 用鄰近像素的平均值取代該像素的值，可以消除「顆粒感」。
4. 邊緣偵測： 將鄰近的像素值相減，可以突顯顏色突然變化的位置。
5. 偽彩技術 (False Colour)： 將特定的顏色分配給特定的數值（例如熱成像相機將熱量顯示為紅色）。
核心重點： 數位影像就是數學！透過改變陣列中的數字，我們可以讓影像更清晰或突顯隱藏的細節。
3. 訊號與數位化
類比訊號 (analogue signal) 是連續的（像一條波浪線）。數位訊號 (digital signal) 則是一系列數字。為了將類比轉換為數位，我們需要在特定時間點對訊號進行「取樣」。
解析度與雜訊
每個訊號都會有一些雜訊 (noise)（不必要的隨機干擾）。我們不想浪費位元去記錄雜訊，因此我們根據訊噪比 (signal-to-noise ratio) 來選擇解析度（位元數）。
公式： \(b = \log_2 \left( \frac{V_{\text{total}}}{V_{\text{noise}}} \right)\)
這告訴我們有多少位元 (\(b\)) 是對訊號有用的。
取樣率（奈奎斯特規則）
我們需要多久進行一次測量？如果取樣太慢，我們會錯失高頻細節。
規則： 取樣率必須大於訊號中最高頻率的 2 倍。
傳輸速率
這是數據移動的速度（就像你的網速）。
傳輸速率 = 每秒取樣次數 \(\times\) 每個取樣的位元數
單位：位元每秒 (bps)。
常見錯誤： 在尋找最小取樣率時，學生常忘記將頻率乘以 2。請務必將最高頻率加倍！
4. 偏振
光是一種電磁波。它屬於橫波 (transverse wave)，意即它的震動方向與其行進方向垂直。
什麼是偏振？
通常，光會朝所有可能的方向震動（上下、左右、斜向）。偏振 (polarisation) 是將光過濾，使其只在一個平面上震動的過程。
「柵欄」類比：
想像透過柵欄甩動繩子。如果柵欄的縫隙是垂直的，你可以上下甩動繩子（垂直波可以通過），但如果你試圖左右甩動，柵欄會擋住波。這正是偏振濾光片處理光波的方式。
偏振的證據
- 偏光太陽眼鏡： 它們阻擋了從水平表面反射的光線（眩光），這證明了反射光通常是偏振光。
- 微波： 你可以用金屬格柵來阻擋微波。如果你旋轉格柵，接收器拾取的訊號會在格柵與波的震動方向「交叉」時降為零。
你知道嗎？ 偏振現象只發生在橫波中。縱波（如聲波）無法被偏振。如果你看到一個波被偏振了，那它絕對是橫波！
快速複習箱
1. 透鏡焦度： \(P = 1/f\) (\(f\) 為米)。
2. 選項數： \(N = 2^b\)。
3. 影像資訊： \(\text{像素總數} \times \text{每個像素的位元數}\)。
4. 取樣： 取樣率必須 \(> 2 \times f_{\max}\)。
5. 偏振： 僅適用於橫波；證明光是橫波。
做得好！你已經掌握了影像與訊號的核心概念。記得多練習運用透鏡公式代入不同數值，以熟練這些計算！