歡迎來到圓形的世界！
在本章中，我們將從直線過渡到曲線——具體來說是自然界中最完美的形狀：圓形 (circle)。雖然你多年來一直使用圓規畫圓，但現在我們要用坐標幾何 (Coordinate Geometry) 來描述它們。學完這一節，你將能夠透過觀察方程式，「看出」圓形在圖表上的確切位置及其大小。
如果這看起來像是從直線跳躍到圓形，請不用擔心。只要你能運用畢氏定理 (Pythagoras' Theorem) 並解簡單的方程式，你就已經具備掌握這一章所需的工具了！
1. 圓的方程式
圓心為 \( (a, b) \) 且半徑為 \( r \) 的圓形，其標準方程式寫法為：
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
為什麼會這樣寫？
你可以把圓形想像成一組點的集合，這些點與固定的圓心距離皆相等 (\( r \))。如果你從圓心到圓周上的任何一點畫一個直角三角形，畢氏定理 (\( A^2 + B^2 = C^2 \)) 就會得出這個公式！
如何使用此公式：
- 若圓心為 \( (3, 4) \)，半徑為 \( 5 \)，則方程式為：\( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 \)。
- 注意正負號！ 若方程式為 \( (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 16 \)，由於公式中使用的是「減去 \( a \)」，因此圓心實際上是 \( (-2, 1) \)。
- 半徑： 等號右邊的數字是 \( r^2 \)。要找出真正的半徑，必須進行開方 (square root)。在上例中，半徑為 \( \sqrt{16} = 4 \)。
快速回顧：
方程式：\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
圓心：\( (a, b) \)
半徑：\( r \)
2. 展開與配方法
有時候，考題不會給你整齊的括號，反而會給你這樣的式子：
\( x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0 \)
要從這個「雜亂」的式子中找出圓心和半徑，我們使用一種稱為配方法 (Completing the Square) 的技巧。我們分別對 \( x \) 部分和 \( y \) 部分進行配方。
分步指南：
例子：求 \( x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0 \) 的圓心和半徑。
- 分組項： 將 \( x \) 項放在一起，\( y \) 項放在一起。將常數項移到等號另一邊。
\( (x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = -9 \) - 對 \( x \) 配方： \(-6\) 的一半是 \(-3\)。所以，我們寫成 \( (x - 3)^2 \)，然後減去 \((-3)^2\)。
\( (x - 3)^2 - 9 \) - 對 \( y \) 配方： \( 8 \) 的一半是 \( 4 \)。所以，我們寫成 \( (y + 4)^2 \)，然後減去 \( (4)^2 \)。
\( (y + 4)^2 - 16 \) - 組合起來：
\( (x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = -9 \)
\( (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16 \)
結果： 圓心為 \( (3, -4) \)，半徑為 \( \sqrt{16} = 4 \)。
常見錯誤： 減去時忘記將「減半後的數字」平方。永遠記住：\( (x + \text{一半})^2 - (\text{一半})^2 \)。
3. 圓的幾何性質
你在 GCSE 階段學過的有三個特定的規則（或稱「定理」）在坐標幾何中非常實用。你需要知道如何應用它們來求斜率和方程式。
性質 1：切線與半徑
圓在任何一點的半徑與該點的切線 (tangent) 互相垂直（成 90 度角）。
- 重要性： 如果你知道半徑的斜率 (\( m_1 \))，那麼切線的斜率 (\( m_2 \)) 將會是其負倒數 (negative reciprocal)。
- 公式： \( m_1 \times m_2 = -1 \)。
性質 2：弦與垂直平分線
如果你從圓心畫一條直線，與弦 (chord)（圓內的一條線段）垂直相交，那麼這條線會平分 (bisect) 該弦（將其精確地分成兩半）。
- 解題技巧： 任何弦的垂直平分線一定會經過圓的圓心。如果你有兩條弦並分別求出它們的垂直平分線，它們的交點就是圓心！
性質 3：半圓內的角
從直徑兩端連至圓周上一點所構成的任何角度，總是 90 度。
- 應用方式： 如果你在圓內有一個三角形，且你能證明其中兩邊互相垂直（使用斜率），那麼第三邊（斜邊）必然是直徑 (diameter)。
你知道嗎？
半圓內的角為直角這個性質通常被稱為泰利斯定理 (Thales's Theorem)，是以一位生活在 2,500 多年前的古希臘哲學家命名的！
4. 交點：圓與直線
在考試中，你可能會被要求找出直線與圓的交點，或者判斷它們是否相交。
如何求交點：
- 取直線方程式（例如 \( y = mx + c \)）。
- 將此式代入 (substitute) 圓的方程式 \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)。
- 展開並簡化。你會得到一個形式為 \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) 的二次方程式 (quadratic equation)。
- 解出二次方程式以求出 \( x \) 坐標，然後將其帶回直線方程式以求出 \( y \) 坐標。
使用判別式 (\( b^2 - 4ac \))：
你可以無需實際計算出交點，就能判斷直線與圓的關係：
- 若 \( b^2 - 4ac > 0 \)：直線與圓相交於兩點（此為弦）。
- 若 \( b^2 - 4ac = 0 \)：直線與圓相切於一點（此為切線）。
- 若 \( b^2 - 4ac < 0 \)：直線與圓完全不相交。
重點總結： 把交點問題當成拼圖。將直線代入圓方程式，就是解開二次方程式這把「鑰匙」。
總結：圓的「小抄」
1. 圓方程式： \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)。
2. 找圓心： 使用配方法。
3. 切線： 切線斜率是半徑斜率的負倒數。
4. 弦： 弦的垂直平分線會經過圓心。
5. 交點： 將直線代入圓中並使用判別式 \( b^2 - 4ac \)。
不要害怕畫出圓形草圖！快速畫圖通常能幫助你看出需要使用哪一個幾何性質。你能做到的！