Functions

函數簡介：你的數學「自動販賣機」

歡迎來到函數（Functions）的世界！如果你用過自動販賣機，那你其實已經掌握了函數運作的原理。你輸入一個特定的代碼（輸入值 input），販賣機就會根據規則給你特定的零食（輸出值 output）。在數學上，函數就是一種將輸入值（通常是 \(x\)）與單一輸出值（通常是 \(y\) 或 \(f(x)\)）連結起來的規則。

在本章中，我們將探討如何描述這些規則、如何繪製函數圖形，以及如何「微調」它們來改變形狀。如果剛開始覺得有些抽象，別擔心——我們會一步一步拆解給你聽！

1. 二次函數：平方的威力

二次函數（Quadratic Function）是指 \(x\) 的最高次方為 2 的任何函數。它們的形式如下：\(f(x) = ax^2 + bx + c\)。當你繪製它們時，它們總是會形成一個「U」形或「n」形的圖形，稱為拋物線（parabola）。

判別式（The Discriminant）：尋找「根」的導航員

在繪製二次函數圖形之前，你可以利用判別式（Discriminant）來預測它與 \(x\)-軸的交點數（即函數的根 roots）。判別式就是二次公式中根號底下的部分：\(b^2 - 4ac\)。

• 若 \(b^2 - 4ac > 0\)：有兩個互異實根（圖形與 \(x\)-軸交於兩點）。
• 若 \(b^2 - 4ac = 0\)：有一個重根（圖形與 \(x\)-軸相切於一點）。
• 若 \(b^2 - 4ac < 0\)：沒有實根（圖形完全在 \(x\)-軸上方或下方，「懸空」）。

快速複習箱：
正判別式 = 2 個交點
零判別式 = 1 個切點
負判別式 = 0 個交點

配方法（Completing the Square）

將二次函數改寫為 \(y = a(x + p)^2 + q\) 的形式，對於繪圖非常有幫助。它能告訴你圖形的「鼻尖」在哪裡——這就是所謂的頂點（turning point 或 vertex）。

• 頂點位於 \((-p, q)\)。注意，\(p\) 的正負號要反轉！
• 對稱軸（Line of Symmetry）是垂直線 \(x = -p\)。

例子：對於 \(y = (x - 3)^2 + 5\)，頂點是 \((3, 5)\)。這是一個「U」形圖形，最低點位於 \(x = 3, y = 5\)。

常見錯誤：在從 \((x+p)^2\) 尋找頂點時，學生經常忘記變換 \(p\) 的正負號。如果是 \((x-4)\)，座標點應該是 \(+4\)！

重點總結：判別式告訴你「有多少個」根；配方法告訴你圖形在哪個位置「轉彎」。

2. 隱藏版二次函數：偽裝者

有時候方程乍看之下不像二次方程，但它其實「隱藏」在其他函數之中。這些被稱為未知數函數方程（equations in a function of the unknown）。

例子：\(x^4 - 5x^2 + 6 = 0\)
這看起來是一個四次方方程，但如果我們假設 \(x^2\) 是一個單一字母，例如 \(u\)，它就會變成：
\(u^2 - 5u + 6 = 0\)
現在這就是一個簡單的二次方程了！先解出 \(u\)，然後記得將 \(x^2\) 代換回來，找出 \(x\) 的最終值。

步驟流程：
1. 找出「中間項」變量（例如 \(x^2\) 或 \(\sqrt{x}\)）。
2. 用一個新字母（如 \(u\)）取代該變量。
3. 解出 \(u\) 的二次方程。
4. 將你的變量代回這些答案，解出 \(x\)。

3. 曲線草繪：描繪圖形的故事

在考試中，描點作圖（plotting）與草繪（sketching）是有很大區別的。描點意味著使用數據表並要求精確；草繪則是指展示一般的形狀，並標記圖形與坐標軸的關鍵交點。

多項式（三次與四次函數）

對於三次（\(x^3\)）或四次（\(x^4\)）等多項式函數，請遵循以下線索：

• 截距：令 \(x=0\) 找出與 \(y\)-軸的交點。令 \(y=0\)（進行因式分解）找出與 \(x\)-軸的交點。
• 重根：如果某個因式是平方形式，例如 \((x-2)^2\)，圖形會在 \(2\) 處接觸 \(x\)-軸並反彈。
• 末端行為：正數 \(x^3\) 圖形由低處開始，高處結束。負數 \(x^3\) 由高處開始，低處結束。

反比例圖形

你需要了解兩種特定的形狀：

• \(y = \frac{a}{x}\)：此圖形在對角象限有兩條曲線。它永遠不會碰到軸線。這些「禁止觸碰」的線稱為漸近線（Asymptotes）。
• \(y = \frac{a}{x^2}\)：由於 \(x^2\) 永遠為正，圖形的兩條「手臂」都保持在 \(x\)-軸上方，看起來有點像火山。

你知道嗎？漸近線（Asymptote）一詞源自希臘語，意為「不會落在一起」。圖形會越來越靠近這條線，但實際上永遠不會碰到它——這就是數學上的「社交距離」！

4. 以圖形法解方程

如果你有兩個方程，例如 \(y = f(x)\) 和 \(y = g(x)\)，那麼它們的交點（points of intersection）就是 \(f(x) = g(x)\) 的解。

• 若要以圖形法解 \(x^2 = \frac{1}{x}\)，你只需在同一坐標軸上畫出 \(y = x^2\) 和 \(y = \frac{1}{x}\)。
• 兩線相交處的 \(x\) 坐標就是你的答案。

重點總結：方程的解就是兩個圖形的「相遇點」。

5. 圖形變換：移動曲線

把變換想像成用遙控器在螢幕上移動圖形。對於 AS Level 課程，你只需要學會如何一次做一個變換即可。

「括號外」的變化（垂直變換）

如果變化在括號外，它會影響 \(y\)-坐標，並且遵循直覺。

• \(y = f(x) + a\)：平移（滑動）：向上移動 \(a\) 個單位。
• \(y = a f(x)\)：垂直拉伸（Stretch）：縮放因子為 \(a\)。(將 \(y\) 乘以 \(a\))。

「括號內」的變化（水平變換）

如果變化在括號內與 \(x\) 在一起，它會影響 \(x\)-坐標，而且行為與預期相反！

• \(y = f(x + a)\)：平移：向左移動 \(a\) 個單位。（等等，加號代表向左？沒錯！括號內的東西就是這麼「奇怪」）。
• \(y = f(ax)\)：水平拉伸（Stretch）：縮放因子為 \(\frac{1}{a}\)。(將 \(x\) 除以 \(a\))。

記憶口訣：「內 X 外 Y」
括號內（In）影響 X（並且是反（In）向操作）。
括號外（Out）影響 Y（並且完全依照字面意思操作）。

利用向量進行平移：
平移可以用向量 \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) 來表示。
因此，\(y = f(x-3) + 2\) 的變換就是由向量 \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) 進行平移。

總結清單

考試前，請確保你能：
1. 使用判別式找出二次函數有多少個根。
2. 透過配方法找出拋物線的頂點。
3. 識破「隱藏版」二次方程並利用代換法求解。
4. 草繪多項式與反比例圖形，並標記出漸近線。
5. 對任何給定函數應用單一變換（拉伸或平移）。

如果變換剛開始讓你覺得棘手，別擔心。只要記住：如果在括號內，就對 \(x\) 做相反的事；如果在括號外，就對 \(y\) 做完全一樣的事！