歡迎來到平均數與離差的世界！
你有沒有想過，老師是如何判斷全班同學是否「表現良好」，或者天氣應用程式如何預測「典型」氣溫呢？他們並非只看單一數據，而是綜合所有數據進行總結。在本章中，我們將學習如何找出數據集的「中心點」（集中趨勢的測量值），以及數據的「分佈程度」（離差的測量值）。
如果統計學初看之下有很多公式，請不用擔心。我們會一步步拆解，你會發現這其實就是用數字來說故事！
1. 尋找中心點：平均值的測量
當我們提到「平均」時，我們是在尋找一個能代表整個群體的數值。主要有三種方法：
眾數 (Mode)
眾數是出現次數最頻繁的數值。 例子：在數集 {2, 3, 3, 5, 8} 中，眾數是 3。 記憶小撇步：MOde（眾數）= MOst（最多）。
中位數 (Median)
中位數是將數據按從小到大排列後，位於正中間的數值。 如果數據個數是奇數，中位數就是最中間的那一個；如果是偶數，則是中間兩個數的平均值。 記憶小撇步：Median 就像道路中間的「中央分隔島」（median strip）！
平均數 (Mean)
平均數（通常記作 \(\bar{x}\)）就是一般人說的「平均值」。將所有數值加總，然後除以數據的總個數。 公式：\(\bar{x} = \frac{\sum x}{n}\) 其中 \(\sum x\) 代表「所有數值的總和」，\(n\) 代表數據的個數。
快速回顧：該選哪一個？ - 眾數：最適合非數值數據（例如「最喜歡的顏色」）。 - 中位數：當有極端數值（離群值）時非常好用，因為它不會被這些極端值「拉動」。 - 平均數：最強大的測量工具，但可能會被一個非常大或非常小的數字所扭曲。
2. 處理分組數據 (Grouped Data)
有時候數據會以組別形式呈現（例如「身高：150cm - 160cm」）。由於我們不知道確切的身高，我們計算出的平均數和標準差都只能是估算值。
分組平均數計算步驟： 1. 找出每一組的組中點（\(x\)）。 2. 將每個組中點乘以該組的頻數（\(f\)），得到 \(fx\)。 3. 將所有 \(fx\) 相加得到總和（\(\sum fx\)）。 4. 除以總頻數（\(\sum f\)）。 公式：\(\bar{x} \approx \frac{\sum fx}{\sum f}\)
3. 測量「分佈程度」：離差的測量
想像兩位射箭選手。平均而言，他們都能射中靶心附近。但選手 A 的箭都緊密集中在一起，而選手 B 的箭則散落在整個靶面上。我們需要用數字來描述這種差異！
四分位數與四分位距 (IQR)
就像中位數將數據分成兩半，四分位數將數據分成四份。 - 下四分位數 (\(Q_1\))： 25% 的位置。 - 中位數 (\(Q_2\))： 50% 的位置。 - 上四分位數 (\(Q_3\))： 75% 的位置。 - 四分位距 (IQR)： \(Q_3 - Q_1\)。
IQR 非常有用，因為它忽略了兩端各 25% 的極端數據，專注於數據的「中間 50%」。
百分位數 (Percentiles)
百分位數就像四分位數，只是將數據分成了 100 等份。如果你在某次考試中處於第 90 百分位，代表你的分數比 90% 的人都要高！
4. 方差與標準差
標準差 (Standard Deviation) 是 AS Level 數學中最重要的一項離差測量。它告訴我們數據點與平均值的平均距離。課程大綱將其描述為與平均值之離差平方的平均值的平方根。
你需要知道的公式： 對於一列數據： \(\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x-\bar{x})^2}{n}} = \sqrt{\frac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}\)
對於頻數分佈（分組數據）： \(\sigma = \sqrt{\frac{\sum f(x-\bar{x})^2}{\sum f}} = \sqrt{\frac{\sum fx^2}{\sum f} - \bar{x}^2}\)
常見錯誤：學生經常忘記最後要將平均數平方（\(\bar{x}^2\)），或者忘記開根號。 提示：方差 (Variance) 就是標準差的平方（\(\sigma^2\)）。如果題目問的是方差，千萬別開根號！
你知道嗎？大多數現代科學計算器都有「統計模式」，可以即時為你計算這些數值。記得學會使用你那款計算器的功能（通常標記為 '1-Variable Stats'）！
5. 揪出「怪胎」：離群值 (Outliers)
離群值是遠高於或遠低於其餘數據的數據點。OCR 課程大綱給出了兩個具體的「規則」來識別它們：
規則 1：IQR 規則 若數值符合以下情況，則為離群值： - 高於上四分位數超過 \(1.5 \times \text{IQR}\) (\(Q_3 + 1.5 \times \text{IQR}\))。 - 低於下四分位數超過 \(1.5 \times \text{IQR}\) (\(Q_1 - 1.5 \times \text{IQR}\))。
規則 2：標準差規則 若數值符合以下情況，則為離群值： - 距離平均值超過 2 個標準差 (\(\bar{x} \pm 2\sigma\))。
數據清理：一旦發現離群值，你必須決定如何處理它。如果是錯誤（例如有人把 200cm 打成 2000cm），你需要透過刪除或更正來「清理」數據。
6. 比較兩個分佈
如果考題要求你「比較兩組數據」，你必須評論兩件事： 1. 平均值的測量：（使用平均數或中位數）。「平均而言，A 組的得分高於 B 組。」 2. 離差的測量：（使用標準差或 IQR）。「A 組的得分比 B 組更穩定（標準差較小）。」
重點提示：一定要結合題目的背景（例如提及「得分」、「時間」或「重量」），而不僅僅是說「這些數字」。
快速回顧區
- 平均數 (\(\bar{x}\))： 全部相加，除以 \(n\)。
- 標準差 (\(\sigma\))： 與平均值的平均距離。
- IQR： \(Q_3 - Q_1\)。
- 離群值： \(1.5 \times \text{IQR}\) 或 \(2 \times \sigma\)。
- 分組數據： 計算結果永遠只是估算值。
如果標準差公式看起來很嚇人，不用擔心！多練習使用「\(x^2\) 的總和」版本（\(\sqrt{\frac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}\)），因為這通常計算起來快得多。你可以做到的！