歡迎來到統計分佈！
在本章中，我們將從觀察已收集的數據，進階到預測未來可能發生的情況。統計分佈（Statistical distributions）就像數學上的「藍圖」，告訴我們隨機事件中各種結果發生的可能性。無論你是在預測有多少人會點擊廣告，還是花園裡有多少種子會發芽，這些工具都將成為你最好的幫手！
如果公式起初看起來有點嚇人，請別擔心。我們將一步步拆解它們，你很快就會發現，絕大部分繁瑣的計算其實都可以交給計算機完成！
1. 離散機率分佈
在深入了解特定的模型之前，我們需要先理解什麼是離散隨機變量（Discrete Random Variable）。
- 變量（Variable）：一個可以改變的量（通常稱為 \( X \)）。
- 隨機（Random）：結果取決於機會。
- 離散（Discrete）：它只能取特定的、分開的數值（例如 0, 1, 2...）。你不可能有 1.5 個兄弟姊妹，也不可能擲硬幣 2.3 次！
表示分佈的方式
我們可以透過兩種主要方式來呈現分佈：表格（table）或公式（formula）（機率質量函數）。
黃金法則：對於任何離散機率分佈，所有個別機率的總和必須等於 1。 \( \sum P(X=x) = 1 \)。如果總和不等於 1，這就不是一個有效的機率分佈！
例子（表格）：想像一個三面的轉盤。
\( x \)：1, 2, 3
\( P(X=x) \)：0.2, 0.5, 0.3
在這裡，\( 0.2 + 0.5 + 0.3 = 1.0 \)。它是有效的！
例子（公式）：有時機率會以函數形式給出，例如 \( P(X=x) = kx \)，其中 \( x = 1, 2, 3 \)。若要找出 \( k \)，你需要將 \( 1k + 2k + 3k \) 相加並令其等於 1。
重點回顧：
核心概念：離散分佈處理的是「可數」的結果，且「地圖」上的所有機率總和必須恰好為 1。
2. 二項分佈
二項分佈（Binomial Distribution）是一種特殊類型的分佈，用於我們有固定次數的試驗，且只有兩種可能的結果時：成功（Success）或失敗（Failure）。
我們何時可以使用它？（BINS 記憶法）
要使用二項模型，必須滿足四個條件。請記住 BINS：
- B - Binary（二元）：只有兩種結果（成功或失敗）。
- I - Independent（獨立）：一次試驗的結果不會影響下一次。
- N - Number（次數）：試驗次數是固定的（\( n \)）。
- S - Success（成功）：每次試驗成功的機率（\( p \)）都是相同的。
符號表示：我們寫作 \( X \sim B(n, p) \)。
其中 \( n \) 是試驗次數，\( p \) 是成功機率。
你知道嗎？「二項」（Binomial）一詞來自「Bi」（兩個）和「nom」（名稱/項）——指的是那兩種結果：成功和失敗！
3. 計算二項機率
要找出恰好獲得 \( x \) 次成功的機率，有兩種方法：使用公式或使用計算機。
公式法
在 \( n \) 次試驗中獲得恰好 \( x \) 次成功的機率為：
\( P(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x} \)
讓我們拆解一下：
- \( \binom{n}{x} \)：這是安排成功次序的方法數（在計算機上使用 \( nCr \) 按鍵）。
- \( p^x \)：成功機率的 \( x \) 次方。
- \( (1-p)^{n-x} \)：失敗機率的失敗次數次方。
使用計算機（專業方法）
在 OCR 考試中，你需要會使用計算機的統計功能。
- Binomial PD (Probability Density)：用於找出精確數值的機率，例如 \( P(X = 3) \)。
- Binomial CD (Cumulative Distribution)：用於找出範圍的機率，特別是「不大於某數」（包含該數），例如 \( P(X \le 3) \)。
常見陷阱：如果題目要求「大於 3」（\( P(X > 3) \)），計算機無法直接運算。你必須計算 \( 1 - P(X \le 3) \)。永遠記住總機率是 1！
重點回顧：
核心概念：遇到「成功/失敗」的情境請使用 \( X \sim B(n, p) \)。求「恰好」用 PD；求「不大於」用 CD。隨時檢查是否需要用 \( 1 - \dots \) 來計算補集。
4. 模型與假設
在考試題目中，你經常會被要求評價（criticise）模型或陳述假設（assumptions）。
- 條件（Condition）：數學運作所需的要求（例如：「試驗必須是獨立的」）。
- 假設（Assumption）：當你在真實情境中假設條件已滿足（例如：「我們假設一名學生感冒不會影響另一名學生感冒的機率」）。
例子：如果你從一個非常大的群體中抽取樣本，即使我們採取不放回抽樣，我們通常也會假設它們是獨立的，因為群體實在太大，機率的改變微乎其微。課程大綱指出，除非另有說明，否則你可以假設群體夠大，足以進行不放回抽樣。
小提醒：語境很重要！在解釋假設時，一定要結合題目的背景（例如談論「種子」、「汽車」或「投票」，而不僅僅是 \( n \) 和 \( p \)）。
總結清單
1. 我所有離散機率的總和是否等於 1？
2. 該情境是否符合 BINS？
3. 我是否已正確找出 \( n \)（試驗次數）和 \( p \)（成功機率）？
4. 求「恰好」時我有使用 PD 嗎？求「不大於」時我有使用 CD 嗎？
5. 如果題目問「至少（at least）」，我是用 \( 1 - P(X \le \dots) \) 來計算嗎？
你已經完成了統計分佈的筆記！持續練習使用計算機——這是熟習這些概念的最佳途徑。