歡迎來到基礎三角學！
三角學聽起來可能有點深奧，但它本質上就是研究三角形邊與角之間關係的學問。無論你想成為建築師、遊戲開發者還是飛機師，三角學都是導航和建造我們這個世界的秘密武器。在本章中，我們會先溫習基礎知識，然後將這些概念擴展到任何角度！
1. 重回基礎：直角三角形
在深入探討之前，讓我們先確保基礎穩固。在直角三角形中，各邊的名稱是根據它們相對於某個特定角（通常稱為 theta (\(\theta\))）的位置來決定的。
三條邊：
1. 斜邊 (Hypotenuse)： 最長的一條邊，永遠在直角的對面。
2. 對邊 (Opposite)： 在角 \(\theta\) 對面的邊。
3. 鄰邊 (Adjacent)： 在角 \(\theta\) 旁邊（且不是斜邊）的邊。
SOH CAH TOA：你的好朋友
這個經典的記憶法能幫你記住三個主要比例：
- SOH： \(\sin \theta = \frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}}\)
- CAH： \(\cos \theta = \frac{\text{鄰邊}}{\text{斜邊}}\)
- TOA： \(\tan \theta = \frac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}}\)
如果一開始覺得有點棘手也不用擔心！只要記住，這些只是用來求出未知長度或角度的「食譜」。
快速回顧：
- 如果你有一個角度和一條邊，你就可以求出其他邊。
- 如果你有兩條邊，你可以利用計算機上的「反函數」功能（\(\sin^{-1}, \cos^{-1}, \tan^{-1}\)）求出角度。
常見錯誤：務必檢查計算機的模式！在本章中，請確保將計算機設定為 度 (Degrees/D)，而不是弧度 (Radians/R)。
重點提示： SOH CAH TOA 只適用於直角三角形。對於其他三角形，我們需要正弦定律和餘弦定律（稍後介紹！）。
2. 任何角度的三角學：單位圓
當角度大於 \(90^\circ\) 時會發生什麼事？要理解這一點，我們需要使用單位圓 (Unit Circle)——一個以原點 \((0,0)\) 為中心，半徑為 1 的圓。
想像一個點在圓上移動。角度 \(\theta\) 從正 x 軸開始，以逆時針方向旋轉。
- 該點的 x 坐標 為 \(\cos \theta\)。
- 該點的 y 坐標 為 \(\sin \theta\)。
- 從中心點到該點連線的 斜率 (gradient) 即為 \(\tan \theta\)，也就是 \(\frac{y}{x}\)。
「CAST」圖表（記憶輔助）
圓形被分為四個象限。這有助於我們判斷數值是正是負：
- 第一象限 (\(0^\circ\) 至 \(90^\circ\))： All（全部）皆為正。
- 第二象限 (\(90^\circ\) 至 \(180^\circ\))： 只有 Sin 為正。
- 第三象限 (\(180^\circ\) 至 \(270^\circ\))： 只有 Tan 為正。
- 第四象限 (\(270^\circ\) 至 \(360^\circ\))： 只有 Cos 為正。
類比：把它想像成指南針。根據你所在的「區域」，只有特定的三角函數是「受歡迎」（正值）的。
你知道嗎？這就是為什麼 \(\sin(150^\circ)\) 與 \(\sin(30^\circ)\) 的值相同。它們在單位圓上都有相同的高度（y 值）！
重點提示： \(\sin \theta = y\)，\(\cos \theta = x\)，以及 \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)。
3. 你必須知道的精確值
在許多考試題目中，你會被要求給出「精確值」。這意味著不能用小數！你應該背熟 \(30^\circ, 45^\circ\) 和 \(60^\circ\) 的這些值。
實用參考：
- \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\) 及 \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\)
- \(\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\) 及 \(\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
- \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 及 \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\tan(45^\circ) = 1\)
重點提示：如果你在題目中看到 \(\sqrt{2}\) 或 \(\sqrt{3}\)，這是一個強烈的暗示，告訴你要使用這些精確值！
4. 三角函數圖像
如果你將 \(\sin, \cos\) 和 \(\tan\) 的值畫成圖像，你會看到美麗的重複圖案，稱為週期性 (periodic) 波形。
正弦波 (\(y = \sin \theta\))： 從 \((0,0)\) 開始，在 \(90^\circ\) 時升至 1，每 \(360^\circ\) 重複一次。
餘弦波 (\(y = \cos \theta\))： 從 \((0,1)\) 開始，在 \(90^\circ\) 時降至 0，每 \(360^\circ\) 重複一次。
正切圖 (\(y = \tan \theta\))： 看起來像多個分開的「撥動」。它在 \(90^\circ, 270^\circ\) 等處有漸近線 (asymptotes)（永遠觸碰不到的線），每 \(180^\circ\) 重複一次。
變換快速回顧：
- \(y = a\sin \theta\)：這是在垂直方向上的拉伸 (stretch)（使波形變高）。
- \(y = \sin(b\theta)\)：這是在水平方向上的拉伸（沿 x 軸擠壓或拉長波形）。
- \(y = \sin \theta + c\)：這是向上或向下的平移 (translation)。
重點提示：正弦和餘弦每 \(360^\circ\) 重複一次。正切每 \(180^\circ\) 重複一次。
5. 正弦定律與餘弦定律
當三角形沒有直角時，我們使用這兩個強大的定律。用大寫字母 \(A, B, C\) 標記三角形的角度，並用小寫字母 \(a, b, c\) 標記它們的對邊。
正弦定律 (Sine Rule)
\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)
當你有一個「對應對」（一條邊及其對角）加上其他任何一個資訊時，請使用此定律。
餘弦定律 (Cosine Rule)
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\)
以下情況請使用：
1. 你有兩條邊及其夾角 (SAS)。
2. 你有所有三條邊，想求出其中一個角 (SSS)。
任何三角形的面積
\(\text{面積} = \frac{1}{2}ab \sin C\)
你不需要垂直高度！只要兩條邊和它們之間的夾角即可。
重點提示：將餘弦定律想像成畢氏定理加上一個「修正因子」(\(- 2bc \cos A\))，用來處理非直角三角形。
6. 三角恆等式
恆等式是永遠成立的等式。它們在簡化複雜表達式時非常有用。
1. 正切恆等式：
\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
2. 畢氏恆等式 (Pythagorean Identity)：
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
注意：\(\sin^2 \theta\) 只是 \((\sin \theta)^2\) 的簡寫。
如何使用：如果你有一個同時包含 \(\sin^2 \theta\) 和 \(\cos \theta\) 的方程式，你可以用 \((1 - \cos^2 \theta)\) 代替 \(\sin^2 \theta\)，這樣所有項就都變成了餘弦。這通常會將問題轉化為二次方程式！
重點提示：這些恆等式允許你「轉換」三角函數，使方程式更容易求解。
7. 解三角方程式
解像 \(\sin \theta = 0.5\) 這樣的方程式，就像是在尋找波形在特定區間（例如 \(0^\circ\) 到 \(360^\circ\)）內到達某個高度的所有時刻。
步驟：
1. 分離三角函數： 將方程式整理成 \(\sin \theta = \dots\) 的形式。
2. 找到「主值」 (Principal Value)： 使用計算機（\(\theta = \sin^{-1}(0.5) = 30^\circ\)）。
3. 尋找其他解： 利用圖表的對稱性或 CAST 圖表。
- 對於 \(\sin \theta\)：第二個解是 \(180^\circ - \text{主值}\)。
- 對於 \(\cos \theta\)：第二個解是 \(360^\circ - \text{主值}\)（或 \(-\text{主值}\)）。
- 對於 \(\tan \theta\)：其他解是 \(\text{主值} + 180^\circ\), \(\text{主值} - 180^\circ\)，以此類推。
4. 檢查範圍： 確保所有答案都在題目設定的範圍內（例如 \(0 \le \theta \le 360\)）。
常見錯誤：忘記第二（或第三）個解！在一個完整的圓周中，三角方程式通常不止一個答案。
重點提示：你的計算機只會給你一個答案（主值）。你必須運用圖表知識或 CAST 圖表來找到其他解！