函數圖像簡介
歡迎來到函數圖像（Graphs）的世界！你可以把函數圖像想像成「數學圖畫」。方程式告訴我們數學關係的規則，而圖像則為我們描繪出這個關係的故事。在本章中，我們將學習如何繪製各類曲線、找出其關鍵特徵，並觀察方程式的小變動如何影響整體形狀。別擔心，即使起初覺得這些形狀有些混亂，當你讀完這些筆記後，就能夠一眼看出方程式背後的「圖畫」長什麼樣子了。
1. 與軸的交點（截距）
繪製圖像時，首要觀察的就是曲線與坐標軸的交點，這有助於我們為草圖定位。
y-截距： 這是曲線與垂直軸（y軸）相交的地方。在這個點上，水平值 \(x\) 永遠為 0。只需在方程式中代入 \(x = 0\) 即可求得。
x-截距（根）： 這是曲線與水平軸（x軸）相交的地方。在這些點上，垂直值 \(y\) 永遠為 0。求這些點通常需要解一個方程式（例如二次方程或多項式方程）。
例子：對於曲線 \(y = x^2 - 4\)，y-截距位於 \((0, -4)\)。令 \(y = 0\) 可得 \(x^2 - 4 = 0\)，因此 x-截距位於 \(2\) 和 \(-2\)。
快速複習：
• 要找 y-截距，令 \(x = 0\)。
• 要找 x-截距，令 \(y = 0\)。
重點提示： 與坐標軸的交點就像你圖像上的「地標」，它們與方程式的解有直接關係！
2. 二次函數圖像（拋物線）
形如 \(y = ax^2 + bx + c\) 的二次方程式會產生一個「U」形（若 \(a\) 為正）或「n」形（若 \(a\) 為負）的圖形。這些圖形稱為拋物線（parabolas）。
利用配方法繪圖
處理二次函數的一個巧妙技巧是將其改寫為：\(y = a(x + p)^2 + q\) 的形式。
為什麼要這樣做？因為這能告訴我們曲線最精確的「頂點」，我們稱之為轉向點（turning point）或駐點（stationary point）。
• 轉向點位於 \((-p, q)\)。
• 對稱軸是垂直線 \(x = -p\)。
類比： 想像將球拋向空中，它飛行的路徑就是一條拋物線。「轉向點」正是球停止上升並開始下墜的那一刻（即最高點）。
記憶小撇步： 請注意，轉向點的 \(x\) 坐標符號與括號內的符號相反。如果你看到 \((x + 3)^2\)，轉向點就在 \(x = -3\)。
常見錯誤： 繪圖時，確保拋物線看起來是平滑的曲線，而不是「V」字形。頂部或底部應該是圓潤的！
重點提示： 利用配方法來找出轉向點 \((-p, q)\) 和對稱軸 \(x = -p\)。
3. 多項式函數繪圖
多項式是指像三次函數（\(x^3\)）或四次函數（\(x^4\)）這類函數。繪製這些圖形時，我們主要觀察其根（即 \(y=0\) 的位置）。
重根
有時方程式中的某個因式是平方形式，例如 \(y = (x - 2)^2(x + 1)\)。
• 單根（如 \(x + 1\)）意味著圖形會穿過 x軸。
• 重根（如 \((x - 2)^2\)）意味著圖形僅僅接觸 x軸並反彈，就像球撞擊地面一樣。這是一個駐點。
你知道嗎？ \(x\) 的「最高冪次」能告訴你大致形狀。正係數的 \(x^3\) 圖形從左下方開始，在右上方結束。正係數的 \(x^4\) 圖形則看起來像個「W」形。
重點提示： 留意重根的位置，這能讓你找出圖形在 x軸上「反彈」的位置。
4. 倒數函數圖像
課程要求你掌握兩種特定形狀：\(y = \frac{a}{x}\) 和 \(y = \frac{a}{x^2}\)。
漸近線：看不見的「電網」
這些圖形具有漸近線（asymptotes）。漸近線是一條曲線無限接近、但永遠不會觸碰的直線。它就像一條隱形的電網。
• 對於 \(y = \frac{a}{x}\) 和 \(y = \frac{a}{x^2}\) 這兩種圖形，y軸 (\(x = 0\)) 和 x軸 (\(y = 0\)) 皆為漸近線。
兩者區別：
• \(y = \frac{a}{x}\)：曲線位於對角象限（若 \(a\) 為正，則位於右上和左下）。這代表反比例關係。
• \(y = \frac{a}{x^2}\)：由於 \(x^2\) 永遠為正，圖形會留在 x軸的上方（右上和左上）。這通常被稱為「火山」形狀。
重點提示： 倒數函數的圖像永遠不會觸碰軸線（漸近線）。\(1/x\) 的分支位於相對的象限；而 \(1/x^2\) 則始終位於 x軸的同一側。
5. 圖像變換
有時我們會拿一個標準圖形 \(y = f(x)\) 並稍微改變方程式。這會「變換」圖像。你需要掌握四種主要的變換類型：
垂直平移與拉伸（函數外部）
當變動發生在 \(f(x)\) 的「外部」時，它會影響 y坐標。這些變動是「誠實」的，因為它們會產生你預期中的效果。
• \(y = f(x) + a\)：平移。將圖形向上移動 \(a\) 個單位。
• \(y = af(x)\)：拉伸。將圖形沿垂直方向拉伸，縮放倍數為 \(a\)。（若 \(a\) 為負，它還會沿著 x軸進行反射）。
水平平移與拉伸（函數內部）
當變動發生在括號內與 \(x\) 在一起時，它會影響 x坐標。這些變動是「反向」的——它們產生的效果與你直覺想的相反！
• \(y = f(x + a)\)：平移。將圖形向左移動 \(a\) 個單位。（沒錯，加法反而會向左移！）
• \(y = f(ax)\)：拉伸。將圖形沿水平方向拉伸，縮放倍數為 \(1/a\)。（如果把 \(x\) 乘以 2，圖形實際上會變窄一半）。
記憶小撇步：
• 外（Outside）部 = 垂（Vertical）直（垂直的 V 看起來像向外的箭頭）。
• 內（Inside）部 = 水（Horizontal）平（水平的 H 看起來像是被困在箱子內）。
• 請記得：「內部相反，外部正常」。
加油語： 別擔心，如果變換看起來很棘手！只需記得按部就班地將變動應用到坐標上即可。如果在括號內，就對 \(x\) 做相反的動作；如果在括號外，就對 \(y\) 做直接的動作。
重點提示：
• \(f(x) + a\) 向上移。
• \(f(x + a)\) 向左移。
• \(af(x)\) 拉高。
• \(f(ax)\) 壓窄。