Inequalities

歡迎來到不等式的世界！

在以前的數學課裡，你們花了很多時間尋找 \(x\) 的確切數值（例如 \(x = 5\)）。在這個章節中，我們將探討不等式 (Inequalities)。我們不再只尋找單一答案，而是要找出可能的數值範圍 (range)。

試想一下限速：如果路牌顯示限速 70 英里，你不必剛好開 70 英里。只要車速 \(s\) 滿足 \(s \le 70\)，你就可以維持任何車速。不等式能幫助我們描述這些現實世界的限制，從橋樑的載重極限，到化學反應所需的溫度條件。如果起初覺得這些概念有點陌生，別擔心——看完這份筆記，你將會成為尋找並標示這些區域的專家！

1. 單變量線性不等式

解線性不等式幾乎與解線性方程式一模一樣，但有一個非常重要的「黃金法則」。

基礎知識

我們主要使用四個符號：
\( > \) ：大於
\( < \) ：小於（提示：這個符號看起來就像是一個壓扁的「L」，代表 Less than！）
\( \ge \) ：大於或等於
\( \le \) ：小於或等於

不等式的「黃金法則」

當你將不等式兩邊同時乘以或除以一個負數時，必須反轉不等號。

例子：如果我們有 \( -2x < 10 \)，我們將兩邊除以 \( -2 \)。符號必須反轉：
\( x > -5 \)

為什麼呢？想想數線。\( 2 < 5 \) 是正確的。但如果我們把它們都乘以 \( -1 \)，那麼 \( -2 < -5 \) 對嗎？不對！因為 \( -2 \) 在數線上其實比 \( -5 \) 「更靠右」（更大）。所以我們必須將其反轉為 \( -2 > -5 \) 才能維持陳述正確。

逐步解題：處理括號與分數

1. 展開所有括號。
2. 將每一項乘以分母，消除分數。
3. 重組各項，將所有含 \(x\) 的項移至一邊，常數項移至另一邊。
4. 解出 \(x\)（記得如果除以負數，要反轉符號！）。

快速回顧：將不等式視為方程式來處理，99% 的情況下都行得通。只是要留意那些負數！

2. 以圖形表示不等式

有時，我們需要在坐標平面（\(x-y\) 圖表）上表示不等式。這在 Ma7 的參考範圍內很常見，例如 \( y > x + 1 \)。

邊界線 (Boundary Line)

首先，將不等式視為等號並畫出直線（例如 \( y = x + 1 \)）。

• 使用虛線表示 \( < \) 或 \( > \)。這顯示邊界本身不包含在內。
• 使用實線表示 \( \le \) 或 \( \ge \)。這顯示邊界包含在內。

標示區域 (Shading)

要決定直線的哪一側需要塗色（陰影），請使用「測試點」方法 (Test Point Method)：

1. 挑選一個不在直線上的點（原點 \( (0,0) \) 通常是最簡單的選擇！）。
2. 將該點的 \(x\) 和 \(y\) 數值代入你的不等式中。
3. 如果結果是正確的，就將包含該點的那一側塗色。如果結果是錯誤的，就塗另一側。

你知道嗎？在 MEI 考試中，你必須清楚說明你所標示的是哪一個區域。有些人會標示「滿足要求的」區域，有些人則標示「不想要的」區域。務必仔細閱讀題目，看看它是否要求你「塗出滿足不等式的區域」。

3. 二次不等式

解二次不等式（參考 a8），例如 \( x^2 - 5x + 6 < 0 \)，需要稍微不同的方法。你不能直接像解方程式那樣去「解 \(x\)」。

三步驟方法

步驟 1：找出「臨界值」(Critical Values)
將不等式視為方程式並解開（通常因式分解最好用）。
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)
臨界值：\( x = 2 \) 及 \( x = 3 \)。

步驟 2：草繪曲線
簡單畫出拋物線的草圖。因為 \( x^2 \) 的係數為正，這是一個開口向上的 U 型曲線，分別在 2 和 3 處與 \(x\) 軸相交。

步驟 3：識別區域
觀察原始的不等號：
- 如果它是 \( < 0 \)，你需要的是曲線在 \(x\) 軸下方的部分。這通常是一個單一區間：\( 2 < x < 3 \)。
- 如果它是 \( > 0 \)，你需要的是曲線在 \(x\) 軸上方的部分。這會是兩個分離的區域（尾部）：\( x < 2 \) 或 \( x > 3 \)。

常見錯誤：許多學生看到 \( x^2 > 9 \)，就直接寫 \( x > 3 \)。他們忽略了負數的部分！如果你畫出曲線圖，你會發現答案實際上是 \( x > 3 \) 或 \( x < -3 \)。

4. 集合記號與「且/或」

參考 a9 要求你使用標準記號寫出答案。以下是表達相同內容的三種常見方式：

1. 簡單不等式

例子： \( x < 1 \) 或 \( x > 4 \)

2. 使用「且 (And)」與「或 (Or)」

• 「或」 (聯集 \( \cup \))： 當區域是分離的時候使用（例如二次不等式的兩個尾部）。
• 「且」 (交集 \( \cap \))： 當數值必須同時滿足兩個條件時使用（例如二次不等式的中間部分）。

3. 集合記號 (Set Notation)

看起來有點複雜，但理解後就很簡單：
\( \{x : x > 4\} \)
讀作：「所有 \(x\) 的集合，使得 (such that) \(x\) 大於 4。」
- 大括號 \( \{ \} \) 代表「……的集合」
- 冒號 \( : \) 代表「使得……」

重點總結：
區域分離？使用 或 (or) / \( \cup \)。
在兩個數值之間？使用 且 (and) / \( \cap \)。

成功檢核清單

• 如果除以負數，我有反轉符號嗎？
• 對於二次不等式，我有畫出草圖嗎？（一定要畫！）
• 我的邊界線是虛線（嚴格大於/小於）還是實線（包含等於）？
• 我有檢查題目是否要求使用「集合記號」嗎？
• 我有代入一個點（例如 \(0,0\)）來確保我塗對了那一側嗎？

如果集合記號一開始看起來像外星語言，別擔心。只要記住冒號代表「使得」，剩下的就只是你已經解出的不等式而已！