歡迎來到函數圖像變換！
在本章中，我們將學習如何將數學圖像進行平移、拉伸或翻轉。你可以把變換 (transformation) 想像成手機修圖軟體的濾鏡——原始圖像（函數本身）沒有改變，但你改變了它顯示的外觀或在螢幕上的位置。
掌握變換是坐標幾何中的「超級能力」。與其死記硬背上百個不同的圖像，你只需要記住幾個基本形狀和移動它們的規則即可。如果一開始覺得內容很多也不用擔心；我們會將其拆解為簡單的規律，這些規律在所有函數中都適用。
黃金法則：括號內與括號外
在我們探討具體的移動方式之前，有一個小技巧將在你的 A-Level 學習旅程中大派用場。我們只需觀察變換是發生在函數括號的外面還是裡面。
- 括號外面（如 \(y = f(x) + a\)）：這些變換會影響 y 坐標。它們的表現正如你所預期（加號向上，減號向下）。
- 括號裡面（如 \(y = f(x + a)\)）：這些變換會影響 x 坐標。它們是「反直覺」的——它們的變化往往與你直覺預期的相反！
快速回顧：如果是外面的，就是垂直變換；如果是裡面的，就是水平變換。
1. 平移 (Translations：滑動圖像)
平移就是指在不改變形狀或方向的情況下，將圖像進行水平或垂直的滑動。
垂直平移：\(y = f(x) + a\)
這會將圖像向上或向下移動。由於改變發生在函數的外面，我們將 \(a\) 加到每一個 \(y\) 坐標上。
- \(y = f(x) + 3\)：將圖像向上平移 3 個單位。
- \(y = f(x) - 5\)：將圖像向下平移 5 個單位。
記法：我們使用平移向量 (translation vector) 來描述：\(\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}\)。
水平平移：\(y = f(x + a)\)
這會將圖像向左或向右移動。因為它在括號裡面，所以感覺會是反向的！
- \(y = f(x + 2)\)：將圖像向左平移 2 個單位。（想像一下：我們「提前」了 2 個單位到達對應的 x 值）。
- \(y = f(x - 4)\)：將圖像向右平移 4 個單位。
記法：我們使用平移向量來描述：\(\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}\)。
例子：如果原始圖像的頂峰在 \((1, 5)\)，那麼 \(y = f(x - 3) + 2\) 的圖像會將該頂峰移動到 \((4, 7)\)。
重點總結：對於平移，請使用向量 \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)。記住，括號內 x 的移動方向符號是相反的！
2. 拉伸 (Stretches：拉伸圖像)
拉伸會將圖像遠離坐標軸拉開，或是向坐標軸壓縮。每個點都會根據比例因子 (scale factor) 進行移動。
垂直拉伸：\(y = a f(x)\)
這會垂直拉伸圖像。因為它在括號外面，所以只影響 \(y\)。
- 將每個 \(y\) 坐標乘以 \(a\)。
- \(x\) 坐標保持不變。
- 在 \(x\) 軸上的點不會發生移動！
描述方式：「沿 y 軸方向，比例因子為 \(a\) 的拉伸」。
水平拉伸：\(y = f(ax)\)
這會水平壓縮或拉伸圖像。它在括號裡面，所以再次表現為「反直覺」。
- 將每個 \(x\) 坐標乘以 \(\frac{1}{a}\)。
- 如果 \(a = 2\)，圖像實際上會變窄為原來的一半（比例因子為 \(\frac{1}{2}\)）。
- 在 \(y\) 軸上的點不會移動。
描述方式：「沿 x 軸方向，比例因子為 \(\frac{1}{a}\) 的拉伸」。
常見錯誤：學生經常忘記將水平拉伸的比例因子取倒數。如果你看到 \(y = f(3x)\)，比例因子是 \(\frac{1}{3}\)，而不是 \(3\)！
重點總結：垂直拉伸直接使用該數字，水平拉伸則使用 \(1\) 除以該數字。
3. 反射 (Reflections：翻轉圖像)
當比例因子為負數時，就會發生反射。在 AS Level 階段，你特別需要掌握以下兩種情況：
關於 x 軸的反射：\(y = -f(x)\)
負號在外面。所有正的 \(y\) 值變為負，負的 \(y\) 值變為正。圖像會沿 \(x\) 軸上下翻轉。
關於 y 軸的反射：\(y = f(-x)\)
負號在裡面。所有正的 \(x\) 值與負的 \(x\) 值互換。圖像會沿 \(y\) 軸左右翻轉。
你知道嗎？有些圖像在反射後看起來完全一樣！例如，如果你將 \(y = x^2\) 關於 \(y\) 軸反射，它不會有任何變化，因為它是對稱的。
重點總結：\(y = -f(x)\) 是垂直翻轉（沿 \(x\) 軸），\(y = f(-x)\) 是水平翻轉（沿 \(y\) 軸）。
逐步教學：如何建立函數方程
如果考試題目給你一個圖像並說明它經過了變換，請按照以下步驟找出新的方程：
- 識別類型：是滑動（平移）、拉伸還是翻轉（反射）？
- 檢查方向：是向上/向下移動（垂直/括號外），還是向左/向右移動（水平/括號內）？
- 找出數值：移動了多少單位？或者比例因子是多少？
- 寫出函數：
- 向右移動 5 個單位？將 \(x\) 替換為 \((x - 5)\)。
- 垂直拉伸 2 倍？在前面加上 \(2\)：\(2f(x)\)。
- 向上移動 1 個單位？在最後加上 \(+ 1\)。
快速總結表
練習題目時，可以將此表作為檢查清單：
- \(f(x) + a\)：平移 \(\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}\)（垂直移動）
- \(f(x + a)\)：平移 \(\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}\)（水平移動 - 注意符號！）
- \(a f(x)\)：拉伸，比例因子為 \(a\)，沿 \(y\) 軸方向
- \(f(ax)\)：拉伸，比例因子為 \(\frac{1}{a}\)，沿 \(x\) 軸方向
- \(-f(x)\)：關於 \(x\) 軸的反射
- \(f(-x)\)：關於 \(y\) 軸的反射
如果一開始覺得很困難也不用擔心！掌握變換最好的方法是拿一張方格紙（或使用繪圖計算機），試著畫出 \(y = x^2\)，然後畫出 \(y = (x-2)^2\)，再畫 \(y = 3(x-2)^2\)。親眼看著它移動，會讓你更容易記住這些規則！