歡迎來到整數的世界！
你好！在本章中，我們將深入探討整數運算。這是你 OCR GCSE (9-1) 數學課程的基礎部分。不妨將整數視為數學的「積木」。一旦你掌握了加、減、乘、除的技巧，其他一切內容——從代數到財務數學——都會變得輕鬆得多！
整數就是我們平時說的整數（不包含小數或分數）。這包括正整數、負整數和零。我們在生活中隨處可見它們的身影：銀行結餘、氣溫，甚至是體育賽事的比分。讓我們開始吧！
1. 整數的加法與減法
整數的加減法感覺就像在梯子或溫度計上來回移動。正數帶你向上（或向右）移動，而負數則帶你向下（或向左）移動。
數線法
當你加上一個正數時，你向右移動。
當你減去一個正數時，你向左移動。
處理「雙重符號」
有時你會看到兩個符號緊挨在一起，例如 \( 5 - (-3) \)。如果乍看之下覺得奇怪，不必擔心！這裡有一個簡化它們的簡單技巧：
- 相同的符號會變成加號：\( + (+) \) 或 \( - (-) \) 都會變成 \( + \)
- 不同的符號會變成減號：\( + (-) \) 或 \( - (+) \) 都會變成 \( - \)
現實生活類比：銀行帳戶
把正數想像成你擁有的錢，而負數想像成債務。
例 1： \( 5 + (-2) \) 就像是你原本有 \( \$5 \)，但增加了 \( \$2 \) 的債務。你現在有 \( \$3 \)。
例 2： \( 5 - (-2) \) 就像是你原本有 \( \$5 \)，然後有人拿走（抵銷）了你 \( \$2 \) 的債務。消除債務會讓你更有錢！所以，\( 5 + 2 = 7 \)。
快速回顧：
\( 10 + (-4) = 10 - 4 = 6 \)
\( 10 - (-4) = 10 + 4 = 14 \)
重點總結： 如果符號相同，就把它們換成加號。如果符號不同，就把它們換成減號。
2. 整數的乘法與除法
整數的乘法和除法其實通常比加減法更容易，因為規則非常一致。你只需要像平常一樣進行計算，然後決定答案是正數還是負數即可。
符號規則
- 相同符號得出正答案。(\( + \times + = + \) 或 \( - \times - = + \))
- 不同符號得出負答案。(\( + \times - = - \) 或 \( - \times + = - \))
逐步過程：
1. 先忽略符號，對數字進行乘法或除法。
2. 查看原本的符號。
3. 應用上述規則來決定最終符號。
例子： 計算 \( -6 \times 4 \)
1. \( 6 \times 4 = 24 \)
2. 一個是負數 (\( - \))，一個是正數 (\( + \))。
3. 符號不同，所以答案是 \( -24 \)。
記憶小幫手：「好/壞」規則
- 好事 (\( + \)) 發生在好人 (\( + \)) 身上是好事 (\( + \))
- 壞事 (\( - \)) 發生在壞人 (\( - \)) 身上是好事 (\( + \))
- 壞事 (\( - \)) 發生在好人 (\( + \)) 身上是壞事 (\( - \))
重點總結： 符號相同 = 結果為正。符號不同 = 結果為負。
3. 運算優先次序 (BIDMAS)
當一個算式包含多個部分時，我們必須遵循特定的順序。如果不這樣做，每個人算出來的答案都會不同！我們使用 BIDMAS（有時也稱為 BODMAS）這個縮寫來記住運算順序。
- Brackets（括號）：先處理括號 \( ( ) \) 內的內容。
- Indices（指數）：處理冪，如 \( 2^2 \) 或平方根。
- Division and Multiplication（除法與乘法）：從左到右依次計算。
- Addition and Subtraction（加法與減法）：最後處理，從左到右依次計算。
例子： 計算 \( 5 + 2 \times (10 - 7) \)
1. Brackets 先處理：\( 10 - 7 = 3 \)。現在變成了 \( 5 + 2 \times 3 \)。
2. Multiplication 接著處理：\( 2 \times 3 = 6 \)。現在變成了 \( 5 + 6 \)。
3. Addition 最後處理：\( 5 + 6 = 11 \)。
常見錯誤： 很多同學會直接從左到右計算，先把 \( 5 + 2 \) 加起來。千萬不要這樣做！永遠要記得先檢查是否有乘法再進行加法。
你知道嗎？ 乘法和除法的優先級相同。如果你看到算式中同時出現這兩者，就像閱讀書籍一樣從左到右計算即可！
重點總結： 永遠遵守 BIDMAS 以確保你的計算準確無誤。
4. 逆運算
逆運算 (Inverse) 是一個數學術語，意思是相反的運算。了解運算的相反過程能幫助你「撤銷」計算或檢查答案。
- 加法的逆運算是減法。
- 乘法的逆運算是除法。
- 平方的逆運算是平方根。
利用逆運算簡化計算：
有時你可以通過調整兩個數字，讓非計算機題目變得更容易計算。
例子： \( 25 \times 12 \)
將第一個數字翻倍：\( 50 \)
將第二個數字減半：\( 6 \)
現在計算 \( 50 \times 6 = 300 \)。簡單多了！
「我想了一個數」問題：
如果題目說：「我想到一個數字，把它乘以 3 後得到 15」，你可以使用逆運算來解決。反著算！乘以 3 的相反是除以 3。\( 15 \div 3 = 5 \)。
重點總結： 使用逆運算來「逆向推算」並檢查你的答案是否合理。
5. 需避開的常見陷阱
- 「減減」陷阱： 請記住 \( -5 - 3 \) 不是正數。你原本在 \( -5 \)，再減去 \( 3 \) 是向更負的方向移動，所以答案是 \( -8 \)。只有當兩個符號直接接觸時（例如 \( - - \)），才會變成加號。
- 除以零： 你不能將數字除以零。如果在題目中看到這個情況，答案是「未定義」或不可能！
- 忘記 BIDMAS： 在開始計算一長串數字之前，請停下來問自己：「我應該先處理哪一部分？」
最後鼓勵： 處理負數的計算起初可能會讓人困惑——甚至是專業的數學家有時也會出錯！如果你發現自己卡住了，畫一條簡易的數線或思考關於錢的問題。你可以做到的！