簡介：比例的力量
歡迎！在本章中，我們將探討正比例與反比例。這是一種觀察兩件事物如何關聯的有趣方式。例如，如果你買兩倍數量的朱古力條，就需要付兩倍的錢——這就是正比例。如果你找更多朋友幫忙油漆圍欄，所需時間就會更少——這就是反比例。
掌握這些關係是數學中的一項「超能力」，因為它讓你能夠預測現實生活中的情況，從貨幣兌換到科學實驗都能應用。如果一開始覺得有點抽象也不要擔心；我們會一步步為你拆解！
第 1 節：正比例
當兩個數量成正比例時，它們會以相同的比例增加或減少。如果其中一個加倍，另一個也會加倍。如果其中一個減半，另一個也會減半。
它們長什麼樣子？
我們使用符號 \( \propto \) 來表示比例。如果 \( y \) 與 \( x \) 成正比，我們會寫作：
\( y \propto x \)
轉換成公式，即變為：
\( y = kx \)
字母 \( k \) 被稱為比例常數 (constant of proportionality)。你可以把它想像成整個問題中保持不變的「連接器」或乘數。
現實生活中的例子：麵包店
想像你在買杯子蛋糕。如果 1 個杯子蛋糕售價 \( £1.50 \)，那麼 2 個杯子蛋糕售價 \( £3.00 \)。杯子蛋糕的數量與總成本成正比例。這裡的「常數」\( k \) 就是一個杯子蛋糕的價格（\( £1.50 \)）。
重點複習：正比例規則
- 當 \( x \) 增加時，\( y \) 也增加。
- 比值 \( \frac{y}{x} \) 永遠等於同一個數值（\( k \)）。
- 圖像永遠是一條穿過原點 (0,0) 的直線。
你知道嗎？ 貨幣兌換是正比例的經典例子。如果 \( \$1 \) 等於 \( €0.90 \)，那麼 \( \$10 \) 就等於 \( €9.00 \)。匯率就是你的常數 \( k \)！
第 2 節：解決正比例問題
大多數考試題目都遵循簡單的三步流程。讓我們看一個例子。
例子：\( y \) 與 \( x \) 成正比。當 \( x = 4 \) 時，\( y = 20 \)。求當 \( x = 6 \) 時的 \( y \)。
分步指南：
- 求 \( k \)： 使用已知的數值。寫出公式 \( y = kx \)。
\( 20 = k \times 4 \)
\( k = 20 \div 4 = 5 \)。 - 重寫公式： 現在你知道了 \( k \)，公式變為：
\( y = 5x \)。 - 計算新值： 代入新的 \( x = 6 \)。
\( y = 5 \times 6 = 30 \)。
常見錯誤： 學生經常忘記先求 \( k \)。在嘗試找出最終答案之前，務必先找出那個「連接器」\( k \)！
第 3 節：進階課題 - 冪與根
有時候，這種關係不僅僅與 \( x \) 有關，還可能與 \( x^2 \)、\( x^3 \) 甚至 \( \sqrt{x} \) 有關。步驟完全一樣，只是在公式中使用了冪或根號。
- 如果 \( y \) 與 \( x \) 的平方成正比：\( y = kx^2 \)
- 如果 \( y \) 與 \( x \) 的立方成正比：\( y = kx^3 \)
- 如果 \( y \) 與 \( x \) 的平方根成正比：\( y = k\sqrt{x} \)
關鍵要點： 閱讀題目時一定要仔細看清楚，留意是否有提到「平方」、「立方」或「根」！
第 4 節：反比例
在反比例中，當一個量上升時，另一個量就會下降。這就像蹺蹺板一樣。
公式
如果 \( y \) 與 \( x \) 成反比，我們寫作：
\( y \propto \frac{1}{x} \)
公式為：
\( y = \frac{k}{x} \)（或者 \( xy = k \)）
現實生活中的例子：速度與時間
如果你要去朋友家，你行進的速度越快（速度），到達目的地所需的時間就越少。如果你將速度加倍，時間就會減半。這就是反比例。
重點複習：反比例規則
- 當 \( x \) 增加時，\( y \) 減少。
- 將兩個數相乘（\( x \times y \)）永遠會得到相同的常數（\( k \)）。
- 圖像是一條曲線（稱為雙曲線），它會越來越靠近軸線但永遠不會與之相交。
常見錯誤： 千萬不要在反比例問題中使用正比例公式（\( y = kx \)）！如果題目說「成反比」，就要想到「除法」：\( y = \frac{k}{x} \)。
第 5 節：解決反比例問題
我們來試一題！例子：\( y \) 與 \( x \) 成反比。當 \( x = 10 \) 時，\( y = 2 \)。求當 \( x = 5 \) 時的 \( y \)。
分步指南：
- 求 \( k \)： 使用 \( y = \frac{k}{x} \)。
\( 2 = \frac{k}{10} \)
\( k = 2 \times 10 = 20 \)。 - 重寫公式：
\( y = \frac{20}{x} \)。 - 計算： 代入 \( x = 5 \)。
\( y = \frac{20}{5} = 4 \)。
注意，當 \( x \) 減少（從 10 到 5）時，\( y \) 增加了（從 2 到 4）。這就是反比例的運作方式！
第 6 節：辨識圖像
在考試中，你可能需要從圖像中選擇哪一個代表哪種關係。這裡有一個簡單的小技巧：
- 正比例 (\( y \propto x \))： 一條穿過原點 \( (0,0) \) 的直線。
- 正比例於某個冪 (\( y \propto x^2 \))： 一條從 \( (0,0) \) 開始平坦並向上射出的曲線（看起來像「U」字的一半）。
- 反比例 (\( y \propto \frac{1}{x} \))： 一條在左側很高，然後向右滑下的曲線，就像遊樂場的滑梯一樣。
記憶法： Direct（正比）是一條 Diagonal（對角線）。Inverse（反比）是一條 Inward（向內彎曲）的曲線。
本章總結 - 關鍵點
- 正比例： \( y = kx \)。一個上升，另一個也上升。
- 反比例： \( y = \frac{k}{x} \)。一個上升，另一個就下降。
- 常數 \( k \)： 永遠先利用題目給你的數值對來找出 \( k \)。
- 仔細閱讀： 小心題目中的「平方」、「立方」或「根」等字眼——它們會改變你的公式！
如果一開始覺得困難也不用擔心！只要持續練習這套 3 步法（求 \( k \)、寫公式、計算），你很快就能掌握這一章的內容。