Percentages

歡迎來到百分比的世界！

在本章中，我們要掌握百分比 (percentages)。你隨處可見百分比的身影：當你最喜歡的商店有 50% 折扣時、手機電量剩下 12% 時，或者銀行為你的儲蓄提供利息時。百分比只是表達分數 (fractions) 和小數 (decimals) 的另一種方式，但在現實生活中，它往往是比較事物時最實用的工具。

如果你以前覺得這部分很棘手，不用擔心。我們會一步一步拆解，直到你成為百分比達人！

1. 什麼是百分比？

百分比 (percent) 一詞源自拉丁文 'per centum'，字面意思是「每百」。

想像一個由 100 個小方格組成的正方形。如果你把其中的 25 個塗成紅色，你就塗了該正方形的 \( 25\% \)。每一個百分比其實就是分母為 100 的分數。

關鍵詞： 百分比 (Percentage) – 以 100 為總數中的部分數量。

快速回顧：

• \( 50\% \) 代表 100 中的 50（即一半）。
• \( 10\% \) 代表 100 中的 10（即十分之一）。
• \( 100\% \) 代表全部！

重點小貼士： 永遠記住「百分比」代表「每百份中的幾份」。只要記住這一點，你就已經成功了一半！

2. 「黃金三角」：FDP 轉換

要在 J560 課程中取得好成績，你需要靈活運用分數、小數和百分比 (Fractions, Decimals, and Percentages, 簡稱 FDP)。它們本質上是同一數值的不同「裝扮」。

從小數轉換為百分比

將小數乘以 100（將小數點向右移動兩位）。

例子： \( 0.45 = 45\% \)
例子： \( 0.07 = 7\% \)

從分數轉換為百分比

嘗試將分母變為 100，或者直接用分子除以分母，然後乘以 100。

例子： \( \frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 25\% \)

從百分比轉換為分數

將百分數寫在 100 上，然後約分。

例子： \( 60\% = \frac{60}{100} \)。分子分母同時除以 20，得到 \( \frac{3}{5} \)。

你知道嗎？ \( \% \) 這個符號看起來就像是 100 的重新排列！兩個圓圈是零，而斜線則是「1」。

3. 計算數量的百分比

有兩種主要方法：「積木法」(Building Block)（非常適合非計算機試卷）和「乘數法」(Multiplier)（適合計算機試卷）。

積木法（不使用計算機）

大多數百分比可以通過先找到 \( 10\% \) 或 \( 1\% \) 來計算：
• 要找 \( 10\% \)：除以 10。
• 要找 \( 1\% \)：除以 100。

例子：找出 £120 的 \( 15\% \)。
1. 找出 \( 10\% \)：\( 120 \div 10 = 12 \)
2. 找出 \( 5\% \)（\( 10\% \) 的一半）：\( 12 \div 2 = 6 \)
3. 將它們相加：\( 12 + 6 = 18 \)。所以，\( 15\% \) 是 £18。

乘數法（使用計算機）

將百分比轉換為小數，然後乘以總數。

例子：找出 £450 的 \( 37\% \)。
1. \( 37\% \) 作為小數是 \( 0.37 \)。
2. 計算：\( 0.37 \times 450 = 166.5 \)。所以是 £166.50。

重點小貼士： 為了進行快速的「合理性檢查」，問問自己：「我的答案合理嗎？」如果你計算 £100 的 \( 10\% \) 卻得到 £50，你就會知道哪裡出錯了！

4. 將一個數量表示為另一個數量的百分比

你經常會被問到：「\( A \) 是 \( B \) 的百分之幾？」(例如：你的考試分數)。

公式： \( \frac{\text{部分}}{\text{總數}} \times 100 \)

例子：你在測驗中 25 分滿分拿到了 18 分。你的百分比是多少？
\( \frac{18}{25} \times 100 = 72\% \)

5. 百分比增減

這是我們改變原始值的情況。你可能會加上加薪（增加）或減去折扣（減少）。

快捷方式：使用乘數

這是 Foundation 和 Higher 級別最愛用的方法，因為它速度快，且有助於處理日後更難的問題。
• 對於增加：將百分比加到 \( 100\% \)，然後轉換為小數。
• 對於減少：從 \( 100\% \) 減去百分比，然後轉換為小數。

例子 1（增加）：將 £50 增加 \( 12\% \)。
新百分比 = \( 100\% + 12\% = 112\% \)。乘數 = \( 1.12 \)。
計算：\( 50 \times 1.12 = 56 \)。

例子 2（減少）：一件 £150 的外套有 \( 20\% \) 折扣。
新百分比 = \( 100\% - 20\% = 80\% \)。乘數 = \( 0.8 \)。
計算：\( 150 \times 0.8 = 120 \)。

需避免的常見錯誤： 如果價格先增加 \( 10\% \)，然後再減少 \( 10\% \)，你不會回到原價！因為第二次的 \( 10\% \) 是基於新的、較大的數字來計算的。

6. 反向百分比（逆向計算）

這類題目會給你新價格，並要求你找出原始價格。這往往是本章最難的題目。

法則： 永遠不要去計算新價格的百分比。相反，找出新價格代表了原價的百分之幾。

例子：手機在打 \( 10\% \) 折扣後價格為 £360。原價是多少？
1. 如果有 \( 10\% \) 的折扣，那麼 £360 一定代表原價的 \( 90\% \) (\( 100 - 10 \))。
2. 所以：\( 90\% = £360 \)。
3. 找出 \( 1\% \)：\( 360 \div 90 = 4 \)。
4. 找出 \( 100\% \)（原價）：\( 4 \times 100 = 400 \)。原價是 £400。

記憶輔助： 在反向百分比問題中，你通常需要除以乘數，才能回到「過去」的原始值。

7. 單利與複利

銀行利用百分比來獎勵你的儲蓄，或在你借款時向你收取利息。

單利 (Simple Interest)

利息僅根據原始金額計算。每年金額保持不變。

例子：£1000 以 \( 5\% \) 的單利存 3 年。
£1000 的 \( 5\% \) 是 £50。你每年獲得 £50。
總利息 = \( £50 \times 3 = £150 \)。

複利 (Compound Interest)

利息是根據每年新的結餘計算的。也就是「利滾利」。

公式（Higher 級別）： \( \text{總金額} = P \times (\text{乘數})^n \)
其中 \( P \) 是起始金額，\( n \) 是年數。

例子：£1000 以 \( 5\% \) 的複利存 3 年。
計算：\( 1000 \times (1.05)^3 = 1157.63 \)。
（與單利獲得的 £1150 相比！複利增長得更快。）

重點小貼士： 單利就像平鋪直敘的加法；而複利就像滾雪球，隨著它滾動並累積利息，雪球會變得越來越大。

總結清單

在結束之前，請確保你能：
• 將百分比定義為「每百份中的幾份」。
• 在分數、小數和百分比之間進行轉換。
• 計算數量的百分比（使用及不使用計算機）。
• 使用乘數進行百分比增減。
• 通過找出 \( 1\% \) 的值來解決反向百分比問題。
• 區分單利和複利。