歡迎來到平面等距變換的世界！

在本章中，我們將探索如何在網格上移動圖形，且不改變它們的大小或形狀。你可以把它想像成在房間裡移動家具：你可以滑動椅子、轉動它，或者在鏡子裡看到它的倒影，但椅子本身的大小完全沒有變。這些「大小不變」的移動，就是數學家所說的等距變換（Isometric Transformations）。

讀完這些筆記後，你將會成為在坐標平面上進行反射、旋轉和平移的專家。如果剛開始覺得像解謎一樣，別擔心——只要你掌握了「移動規則」，一切都會變得非常簡單！

等等，「等距（Isometric）」是什麼意思？

等距（Isometric）一詞源自希臘語：isos（相等）和 metron（度量）。在數學中，這意味著原圖（Object）和像（Image，即變換後的圖形）是全等（Congruent）的。這代表它們所有的邊長和角度都保持完全不變！

1. 反射（Reflection，9.01a）

反射就像照鏡子一樣。原圖上的每一個點都會穿過一條對稱軸（mirror line）「翻轉」到新的位置。

反射的黃金法則：像上的每一個點，距離對稱軸的距離必須與原圖上對應點的距離完全相等，且位於對稱軸的另一側。

如何反射一個圖形：

1. 找出對稱軸。
2. 選取圖形的一個頂點。
3. 計算該點到對稱軸的格數。
4. 在對稱軸的另一側數相同的格數並點上一個點。
5. 對所有頂點重複上述步驟，最後將點連接起來即可！

你需要知道的常見對稱軸：
  • 垂直線：寫作 \( x = a \)。例如，\( x = 2 \) 是一條經過 x 軸上 2 點的垂直線。
  • 水平線：寫作 \( y = b \)。例如，\( y = -1 \) 是一條經過 y 軸上 -1 點的水平線。
  • 對角線：最常見的是 \( y = x \)（經過 (0,0), (1,1), (2,2)...）和 \( y = -x \)。

類比：想像沿著對稱軸摺疊紙張。原圖應該要能與反射後的像完美重疊！

常見錯誤：學生經常搞混 \( x = \) 和 \( y = \) 的線。記住：x 軸本身是水平的，但 \( x = 3 \) 這條線卻是垂直的，因為這條線上每一個點的 x 坐標都是 3！

快速複習：反射會翻轉圖形。像與原圖全等，但方向相反（看起來是「反過來」的）。

2. 旋轉（Rotation，9.01b）

旋轉是指圍繞一個稱為旋轉中心（centre of rotation）的固定點轉動圖形。

要完整描述一次旋轉，你需要三個要素：

1. 旋轉中心（以坐標形式給出，例如 (0,0)）。
2. 旋轉角度（通常是 \( 90^\circ \)、\( 180^\circ \) 或 \( 270^\circ \)）。
3. 旋轉方向（順時針或逆時針）。

使用描圖紙的分步指南：

描圖紙是旋轉時最好的幫手！按照這些步驟操作：
1. 將描圖紙放在網格上，描下圖形和旋轉中心。
2. 用鉛筆尖按住旋轉中心以固定位置。
3. 按照要求的角度和方向轉動紙張。
4. 觀察描出的圖形落在網格上的位置，然後把它畫上去。

你知道嗎？順時針旋轉 \( 180^\circ \) 和逆時針旋轉 \( 180^\circ \) 的結果是一模一樣的！這只是一個半圈的轉動。

重點總結：在旋轉過程中，圖形不會翻轉也不會改變大小；它就像時鐘上的指針一樣，圍繞著一點旋轉。

3. 平移（Translation，9.01c）

平移就是簡單的「滑動」。圖形向上、下、左、右移動，但不會旋轉或翻轉，保持相同的方向。

我們使用列向量（column vector）來描述平移：

\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)

如何解讀向量：
  • 上面數字（\( x \)）：圖形向左（負數 -）或向右（正數 +）移動。
  • 下面數字（\( y \)）：圖形向下（負數 -）或向上（正數 +）移動。

例子：向量 \( \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \) 代表「向右移動 3 格，向下移動 2 格」。

記憶口訣：「X 是左右橫跨，Y 是升降天空。」上面的數字處理水平移動，下面的數字處理垂直移動。

快速複習：要平移一個圖形，將每一個頂點都按照向量的數值移動，然後重畫圖形。看起來就像圖形散步到了新的位置一樣！

4. 複合變換與不變量（9.01d）

有時，題目會要求你在圖形的結果上進行一次變換，然後再進行另一次變換。這稱為變換的序列（sequence）。

例子：「將圖形 A 沿 y 軸反射，然後將所得的像繞 (0,0) 順時針旋轉 \( 90^\circ \)。」只需一步一步來！將你的第一次移動標記為「像 1」，第二次移動標記為「像 2」。

什麼是不變量（Invariance）？

不變量是一個高級的詞，意思就是「保持不變的東西」。
在我們研究的所有變換中（反射、旋轉、平移）：
1. 邊長是不變的（它們不會改變）。
2. 角度是不變的。
3. 面積是不變的。

此外，某些點也可能是不變的！如果一個點在反射過程中正好位於對稱軸上，它就不會移動。該點稱為不動點（invariant point）。

如果覺得很難，別擔心！只需記住等距（Isometric）就是「保持大小」的意思。如果你移動圖形後，它變大、變小或變形了，你就知道哪裡出錯了！

最後關鍵總結：
- 反射（Reflect）：翻轉。
- 旋轉（Rotate）：轉動。
- 平移（Translate）：滑動。
- 這三者：圖形的大小始終完全不變！