Ruler and compass constructions

歡迎來到尺規作圖的世界！

在本章中，我們將學習如何以極高的精準度繪製幾何圖形。試著想像自己是一位電腦時代之前的建築師或設計師！我們不再需要估計一條線的中點在哪裡，而是使用兩種簡單的工具——直尺 (ruler) 和 圓規 (compass)——來精準地找到它。

如果剛開始覺得這些步驟有點「瑣碎」，別擔心。只要準備一支削尖的鉛筆，多加練習，你很快就能畫出完美的平分線與軌跡！

幾何工具箱

在我們開始「動手建造」之前，先來看看我們的裝備（課程編號：8.01f）：

• 直尺：我們用它來畫直線並測量距離。在「純粹」的作圖中，我們有時稱它為「無刻度直尺 (straightedge)」。
• 圓規：這是用來畫圓形和弧線（圓的一部分）的工具。它是用來尋找與兩點等距之點最重要的工具。
• 量角器：我們用它來測量和繪製角度。雖然許多作圖不需要它，但用來檢查你的作業非常有用！

專家貼士：務必保持鉛筆芯尖銳，並確保圓規上的螺絲鎖緊，這樣在畫圖時它才不會滑動！

1. 垂直平分線 (Perpendicular Bisector)

課程編號：8.02a

垂直 (Perpendicular) 指的是直角（\( 90^\circ \)）。平分 (Bisector) 指的是將某物精確地分成兩半。因此，垂直平分線就是一條以 \( 90^\circ \) 將另一條線段一分為二的直線。

它有什麼用？ 它能幫你找到線段的中點，並找出所有與線段兩端等距（距離相等）的點。

如何作圖（步驟教學）：

假設你有一條線段 \( AB \)：
1. 將圓規針尖放在點 \( A \) 上。
2. 將圓規開口調整至超過該線段長度的一半。
3. 畫一個大的弧線，使其跨越線段的上方和下方。
4. 保持圓規開口不變，將圓規針尖移到點 \( B \) 上，畫另一個弧線。
5. 這兩個弧線會在兩個點相交（一個在線段上方，一個在下方）。
6. 使用直尺連接這兩個交點，畫出一條直線。

常見錯誤： 在步驟 3 和步驟 4 之間改變了圓規的開口。如果開口改變了，你畫出的線就不會位於正中間！

重點總結： 這條新直線上的每一點，距離點 \( A \) 與點 \( B \) 的距離都完全相等。

2. 角平分線 (Angle Bisector)

課程編號：8.02b

角平分線是將一個角精確平分成兩半的直線。如果你有一個 \( 60^\circ \) 的角，角平分線會創造出兩個 \( 30^\circ \) 的角。

如何作圖（步驟教學）：

1. 將圓規針尖放在角的頂點 (vertex) 上。
2. 畫一個弧線，使其交於角的兩條邊上。
3. 將圓規針尖放在第一個弧線與第一條邊的交點上，在角的內部畫一個小弧。
4. 保持圓規開口不變，將圓規針尖放在第一個弧線與第二條邊的交點上，畫出另一個小弧，使其與剛才畫的小弧相交。
5. 使用直尺將角的頂點與兩個小弧的交點連接起來。

類比： 這就像是把一塊披薩完美地切成兩半，讓你和朋友拿到的份量一模一樣！

重點總結： 角平分線上的任何一點，到組成該角的兩條直線的距離都相等。

3. 從一點作垂線 (Perpendiculars from a Point)

課程編號：8.02c

有時你需要從一個特定的點出發，對現有的線畫一條 \( 90^\circ \) 的垂直線。這有兩種情況：

A. 從線「上」的一點作垂線

1. 將圓規針尖放在該給定點上。
2. 在該線段上畫兩個弧，分別位於該點的兩側（保持圓規開口不變）。
3. 現在，將這兩個新標記視為線段的兩端，按照上述垂直平分線的步驟操作！

B. 從線「外」的一點作垂線

1. 將圓規針尖放在線外「漂浮」的那個點上。
2. 將圓規開口調整至足夠大，畫一個弧線使其與直線在兩個位置相交。
3. 從這兩個交點出發，在直線的另一側畫出兩個相互交叉的弧線。
4. 使用直尺將原先的點與新弧線的交點連接起來。

你知道嗎？ 從一點到直線的垂直距離永遠是最短距離。如果你想以最快速度到達牆邊，請以 \( 90^\circ \) 的角度向它走去！

4. 軌跡與等距點 (Loci and Equidistant Points)

課程編號：8.02d

軌跡 (Locus，複數為 Loci) 是滿足特定規則的一組點。你可以把它想像成一個移動物體在必須遵守某種規則時所走過的「路徑」。

常見的軌跡規則：

• 規則：「距離點 \( X \) 正好 \( 5 cm \)」
軌跡為：一個以 \( X \) 為圓心，半徑為 \( 5 cm \) 的圓。
• 規則：「與點 \( A \) 和點 \( B \) 等距」
軌跡為：線段 \( AB \) 的垂直平分線。
• 規則：「與直線 \( L1 \) 和直線 \( L2 \) 等距」
軌跡為：兩條直線之間的角平分線。
• 規則：「距離一條直線正好 \( 2 cm \)」
軌跡為：兩條平行線（每側各一條），兩端各有一個半圓。我們稱之為「香腸形」或「體育場形」。

速查表：關鍵詞 - 等距 (Equidistant)
Equi = 相等
Distant = 距離
如果一個點到兩樣事物的距離相等 (equidistant)，那麼它正好位於兩者的正中間。

總結與要點回顧

• 作圖必須僅使用直尺和圓規。千萬不要擦掉你的作圖痕跡（弧線）——考官需要看到這些線條才能給你分數！
• 使用垂直平分線來尋找線段中點或與兩點等距的點。
• 使用角平分線來平分角度或尋找與兩線等距的點。
• 軌跡就是滿足特定規則的路徑或區域。
• 從一點到直線的最短距離就是垂直線。

鼓勵的話： 如果你的弧線第一次沒交在一起，只要把它們畫長一點就好！你做得很好。