歡迎來到「方程與不等式」的世界！
你好！在這個章節中，我們將掌握尋找「未知數」的藝術。無論是找出兩條路徑相交的精確點，還是判斷商業活動保持獲利的數值範圍，方程與不等式都是你不可或缺的工具。別擔心過去的代數是否讓你感到像「字母湯」一樣混亂——我們會將其拆解為簡單、合乎邏輯的步驟，讓你輕鬆掌握。
先備知識檢查：在深入探討之前，請記住二次方程通常的形式是 \(ax^2 + bx + c = 0\)。當中的 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 只是數字，它們決定了曲線的形狀和位置！
1. 根的「性質」：使用判別式
有時，我們不需要解出完整的方程，只需要知道它有多少個解（根）。為了做到這一點，我們使用一個稱為判別式的「偵探工具」，符號記作 \(D\) 或 \(\Delta\)。
判別式的公式為：\(D = b^2 - 4ac\)
如何解讀判別式：
- 兩個相異實根：如果 \(b^2 - 4ac > 0\)，圖形會穿過 x 軸於兩個不同的點。
- 兩個相等實根（或稱重根）：如果 \(b^2 - 4ac = 0\)，圖形正好觸碰 x 軸於一點。就像皮球從地板彈起一樣！
- 無實根：如果 \(b^2 - 4ac < 0\)，圖形永遠不會觸碰 x 軸。它要麼完全浮在 x 軸上方，要麼完全沉在 x 軸下方。
快速複習箱：
2 個根 \(\rightarrow D > 0\)
1 個根 \(\rightarrow D = 0\)
無根 \(\rightarrow D < 0\)
常見錯誤：學生經常忘記「實根」（不帶「相異」二字）意味著判別式可以大於零或等於零。因此，當提到「實根」時，請使用 \(b^2 - 4ac \geq 0\)。
2. 恆正或恆負的二次式
你有沒有見過圖形始終嚴格地位於 x 軸的某一側？在 H1 數學中，我們稱這些為定號二次式（definite quadratics）。
「恆正」的條件：
要使 \(ax^2 + bx + c\) 恆正（即對於所有 \(x\)，圖形都在 x 軸上方）：
1. 圖形必須是「開口向上」（U 型）：\(a > 0\)
2. 圖形必須絕不觸碰 x 軸：\(b^2 - 4ac < 0\)
「恆負」的條件：
要使 \(ax^2 + bx + c\) 恆負（即對於所有 \(x\)，圖形都在 x 軸下方）：
1. 圖形必須是「開口向下」（n 型）：\(a < 0\)
2. 圖形必須絕不觸碰 x 軸：\(b^2 - 4ac < 0\)
記憶小撇步：請注意，在這兩種情況下，\(b^2 - 4ac\) 都必須小於零，因為圖形是不允許觸碰 x 軸的！
重點總結：如果一個二次式是「恆 [某狀態]」，這意味著它沒有實根，所以 \(D < 0\)。
3. 解聯立方程
在本節中，我們要尋找直線與曲線（二次式）的交點。這裡最可靠的方法是代入法。
逐步流程：
- 隔離：選取線性方程，將其中一個變數（\(x\) 或 \(y\)）變為主項。（例如：\(y = 2x + 3\)）。
- 代入：將這個表達式代入二次方程中。
- 簡化：展開括號，並將所有項移到一邊，整理成標準二次方程形式（\(ax^2 + bx + c = 0\)）。
- 求解：解出第一個變數的值。
- 尋找配對：將解出的值代回原本的線性方程，以求出另一個變數對應的值。
例子：如果你有 \(y = x + 1\) 和 \(x^2 + y^2 = 5\)，將第一個代入第二個：\(x^2 + (x+1)^2 = 5\)。現在它就是一個普通的二次方程了！
4. 解不等式
不等式就像方程，但我們尋找的不是單一點，而是一個範圍或「區域」。
分析法（因式分解法）：
若要解 \(ax^2 + bx + c > 0\)：
1. 對二次式進行因式分解，找出臨界值（即根）。
2. 畫一個簡單的草圖。
3. 如果不等式是 \(> 0\)，尋找曲線在 x 軸上方的部分（「翅膀」）。
4. 如果不等式是 \(< 0\)，尋找曲線在 x 軸下方的部分（「山谷」）。
圖解法：
如果你得到 \(y = f(x)\) 的圖形並被要求解 \(f(x) \leq k\)：
1. 在 \(y = k\) 處畫一條水平線。
2. 識別曲線低於或觸碰該水平線的區域。
3. 寫出這些區域對應的 \(x\) 值。
你知道嗎？你可以使用圖形計算機（GC）來解決這些問題！只需畫出函數圖形，並利用「零點」（Zero）或「交點」（Intersect）功能即可找到邊界。
5. 建模：將文字轉化為數學
在現實世界中，數學不會以整齊的方程呈現，而是以故事的形式出現。你的工作是將其公式化（formulate）。
類比：將其視為一種翻譯。中文的「是」對應 \(=\)，「多於」對應 \(+\)，而「積」則對應乘法。
建模小撇步：
- 設定變數：清楚說明 \(x\) 和 \(y\) 代表什麼（例如：「令 \(x\) 為售出的單位數量」）。
- 尋找總量：通常，一個方程會關於數量（總物品數），另一個則關於價值（總成本/利潤）。
- 檢查單位：確保所有數值單位一致（例如：不要混用角和元！）。
如果起初覺得困難也別擔心！建模是一項透過練習不斷進步的技能。從為文字題中的關鍵數字劃線開始吧。
6. 使用圖形計算機 (GC)
對於 H1 數學來說，GC 是你最好的朋友。當遇到不容易分解的複雜方程時，你應該使用 GC 來尋找近似解。
如何在 GC 上尋找解：
- 進入圖形 (Graph) 模式，並在 \(Y1\) 輸入你的方程。
- 按下 2nd + CALC（或 Casio 上的 G-Solv）。
- 選擇 Zero 以找出圖形與 x 軸的交點。
- 如果是在尋找兩條線/曲線的交點，則選擇 Intersect。
重點總結：請務必確保你的計算機顯示設定（Window）正確，這樣你才能真正看見交點發生的位置！
總結清單：
- 我可以使用 \(b^2 - 4ac\) 來找出根的數量嗎？
- 我知道二次式「恆正」的條件嗎？
- 我可以使用代入法解線性與二次聯立方程嗎？
- 我可以透過繪製草圖來解不等式嗎？
- 我知道如何使用 GC 找到交點嗎？
你做得到的！持續練習這些代數步驟，很快這些規律就會成為你的本能。