歡迎來到方程與不等式！
你好！歡迎來到 H2 數學中最實用的章節之一。雖然解 \(x\) 可能讓你覺得這是「數學堂」的陳腔濫調，但這一章其實是教你如何建立解決現實世界問題的工具。無論是預測市場趨勢、平衡化學方程式，還是計算衛星軌道，一切都始於建立並求解方程與不等式。
如果過去的代數讓你覺得像是一堆「字母湯」，請不用擔心。我們會把它拆解成清晰且合乎邏輯的步驟，讓你輕鬆掌握。讓我們開始吧！
1. 建立方程與不等式
在我們解決問題之前，需要先將「英語」（文字題）轉化為「數學」。這過程稱為建立模型 (formulating)。
處理文字題的方法：
1. 找出未知數：為你想要求的值分配字母（例如 \(x, y, z\)）。
2. 尋找「關係詞」：像 "is"（是）、"totals"（總共）或 "the same as"（等於）這些詞通常代表等號 (=)。像 "at most"（最多）、"exceeds"（超過）或 "no more than"（不超過）則指向不等號 (\(\le, >, \le\))。
3. 列出方程：如果有超過一個未知數，將資訊整理成一個線性方程組 (system of linear equations)。
例子：一家麵包店賣 3 個蛋糕和 2 個麵包，共收費 \$120。另一位顧客買了 1 個蛋糕和 5 個麵包，共收費 \$70。求兩者的單價。
設 \(c\) 為蛋糕的價格，\(b\) 為麵包的價格。
方程 1：\(3c + 2b = 120\)
方程 2：\(c + 5b = 70\)
重點提示：一定要在開頭清楚定義你的變數！這能避免之後出現混亂。
2. 使用圖形計算機 (GC) 求解
在 H2 數學中，圖形計算機 (Graphing Calculator, GC) 是你的最佳拍檔。你必須學會如何利用它快速準確地解方程。
解線性方程組
對於上述麵包店的例子，你可以使用 TI-84 上的 PlySmlt2（多項式求根與聯立方程解算器）應用程式。
1. 選擇 Simultaneous Equation Solver（聯立方程解算器）。
2. 輸入方程與變數的數量。
3. 輸入係數並求解。
以圖解法解一般方程
如果你遇到像 \(e^x = x + 5\) 這樣的複雜方程：
1. 設 \(Y_1 = e^x\) 及 \(Y_2 = x + 5\)。
2. 繪畫兩條函數的圖像。
3. 使用 CALC -> Intersect 功能找出兩線交點，\(x\) 座標即為你的解。
快速檢視：使用圖解法時，請確保你的「Window」設置足夠寬，以便看到交點！
3. 解有理不等式
這是許多學生容易失分的地方。有理不等式 (rational inequality) 是指包含 \(x\) 的分數不等式，例如 \(\frac{f(x)}{g(x)} > 0\)。
黃金法則：切勿對 \(x\) 進行「交叉相乘」！
在等式中你可以交叉相乘，但在不等式中，你絕對不能乘上一個含有 \(x\) 的運算式（例如 \(x-2\)），因為你無法確定該運算式是正數還是負數。如果它是負數，不等號必須反轉！
解 \(\frac{f(x)}{g(x)} > 0\) 的步驟：
1. 將所有項移到一邊，使另一邊為零。
2. 合併成一個分數，取公分母。
3. 因式分解分子和分母。
4. 找出臨界值 (Critical Values)：即使分子或分母等於零的 \(x\) 值。
5. 使用符號表（或「波浪曲線法」）：測試各個臨界值之間的區間，看看運算式是正還是負。
你知道嗎？我們必須排除使分母為零的值，因為除以零是「未定義的」——這就像是數學版的「404 錯誤」！
重點提示：檢查最終答案是否應包含端點（比較 \(\le\) 與 \(<\)）。分母的臨界值永遠不包含在解集中。
4. 模函數 \(|x|\)
模 (modulus) 或絕對值代表一個數與零之間的距離。由於距離永遠為正，\(|x|\) 會將負數轉變為正數。
必須背誦的關鍵模運算關係：
這兩個規則能幫你節省大量時間：
1. 「中間」規則：\(|x - a| < b \iff a - b < x < a + b\)
理解：與 \(a\) 的距離很小，所以我們保持在 \(a\) 的附近。
2. 「外部」規則：\(|x - a| > b \iff x < a - b\) 或 \(x > a + b\)
理解：與 \(a\) 的距離很大，所以我們向兩端遠離 \(a\)。
代數求解模方程
如果你看到 \(|f(x)| = g(x)\)，你可以考慮兩種情況：\(f(x) = g(x)\) 或 \(f(x) = -g(x)\) 來求解。
警告：記得將答案代回原方程檢查！有些解可能是「外來解」(extraneous)，因為模的結果必須是非負數。
記憶小撇步：Less than (小於) = And (中間/內部)。Greater than (大於) = Or (外部)。記住 "LA-GO"！
5. 以圖解法解不等式
有時代數運算太過複雜，這就是我們使用圖解法的時候。這對於模不等式（如 \(|x - 2| > |2x + 1|\)）特別有用。
操作方法：
1. 繪畫兩邊的圖：設 \(Y_1 = |x - 2|\) 及 \(Y_2 = |2x + 1|\)。
2. 找出交點：使用 GC 找出兩條圖形的相交位置。
3. 解讀圖形：如果題目問 \(Y_1 > Y_2\)，找出 \(Y_1\) 的圖像高於 \(Y_2\) 的圖像時的 \(x\) 範圍。
如果初次嘗試覺得棘手也不要緊！只需記住：「大於」即是「在螢幕上更高的地方」。
重點提示：視覺化問題通常能揭示代數可能隱藏的解，特別是在處理漸近線或模函數圖像的尖角時。
常見錯誤提示
• 符號反轉：在乘以或除以負數時，忘記反轉不等號。
• 分母陷阱：將使分母為零的值包含在解集中（例如分式為 \(\frac{1}{x-2}\) 時卻寫出 \(x \le 2\)）。
• GC 準確度：小數位不足。除非另有說明，非精確答案應取至 3 位有效數字。
• 平方：對不等式兩邊直接平方（如 \(x > -2\)）是有風險的，因為這可能會產生額外的錯誤解或丟失有效解。請改用符號表法！
第 1.3 章總結
要掌握這一章，你需要熟悉代數處理技巧（符號表和模規則）以及 GC 操作（尋找交點）。如果你能將文字題轉化為方程，並選擇正確的工具去解它，你已經攻克了 H2 函數與圖形中最困難的部分！