歡迎來到 3D 向量的世界！
在我們之前對向量的認識中，大多處理的是二維空間或基礎運算。現在，我們要踏入三維向量幾何的領域了。你可以把這視為「數學界的 GPS」。無論你是要設計摩天大樓、編寫 3D 遊戲程式，還是規劃飛行路徑，你都需要了解空間中直線與平面的互動方式。
別擔心，如果剛開始覺得這有些抽象！我們會將每個概念拆解成簡單的步驟。看完這些筆記後，你將能視覺化並精確計算物體在 3D 空間中的位置。讓我們開始吧！
1. 3D 空間中的直線
要在 3D 中定義一條直線，我們需要兩樣東西：一個起點（位置向量）和一個方向。
A. 直線的向量方程式
想像你正位於點 \(A\)，並且想朝著向量 \(\mathbf{d}\) 的方向走。你隨時的位置取決於你走了多遠。
方程式為：
\(\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{d}\)
其中：
• \(\mathbf{r}\) 是直線上任意點的位置向量。
• \(\mathbf{a}\) 是直線上已知點的位置向量。
• \(\mathbf{d}\) 是方向向量（直線的「指南針」）。
• \(\lambda\) 是一個純量參數（告訴你沿著直線走了多遠的數值）。
B. 直線的笛卡兒方程式
如果我們將向量方程式寫成 \(x, y,\) 和 \(z\) 的分量，然後解出 \(\lambda\)，我們就會得到笛卡兒形式：
\(\frac{x - a_1}{d_1} = \frac{y - a_2}{d_2} = \frac{z - a_3}{d_3}\)
範例：如果一條直線通過 (1, 2, 3) 且方向為 (4, 5, 6)，則方程式為 \(\frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{6}\)。
小貼士：
如果方向分量其中之一為零（例如 \(d_3 = 0\)），笛卡兒形式看起來會像這樣：\(\frac{x - a_1}{d_1} = \frac{y - a_2}{d_2}, z = a_3\)。這只是意味著該直線相對於 z 軸是「平坦」的！
重點總結： 直線是由一點和一個方向定義的。如果兩條直線有相同的方向向量（或互為倍數），它們就是平行的。
2. 3D 空間中的平面
平面是一個平坦的 2D 表面，在 3D 空間中向四面八方無限延伸——就像一張巨大的紙張。
A. 純量積形式（「法向量」形式）
這是 H2 數學中表示平面最常見的方式。要定義一個平面，我們需要平面上的一個點，以及一個法向量 (\(\mathbf{n}\))，這是一個垂直於平面（呈 90 度角）向外延伸的向量。
\(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = d\)
其中 \(d = \mathbf{a} \cdot \mathbf{n}\)（平面上某點與法向量的點積）。
B. 平面的笛卡兒方程式
如果 \(\mathbf{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\)，方程式簡單寫為：
\(ax + by + cz = d\)
範例：如果法向量是 \(\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}\)，且通過一點使得 \(d=10\)，則平面為 \(2x - 3y + 5z = 10\)。
你知道嗎？
只要看 \(x, y,\) 和 \(z\) 的係數，就能立刻看出平面的「傾斜度」。這些數字就是法向量的分量！
重點總結： 法向量 \(\mathbf{n}\) 是平面的「主管」。它告訴你關於平面方向的一切資訊。
3. 直線與平面之間的夾角
計算夾角時，我們幾乎都會用到點積 (Dot Product)。記住：\(\cos \theta = \frac{|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}|}{|\mathbf{u}| |\mathbf{v}|}\)。
A. 兩條直線之間的夾角
使用兩條直線的方向向量 (\(\mathbf{d}_1\) 和 \(\mathbf{d}_2\))。
\(\cos \theta = \frac{|\mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2|}{|\mathbf{d}_1| |\mathbf{d}_2|}\)
B. 兩個平面之間的夾角
兩個平面之間的夾角與它們法向量 (\(\mathbf{n}_1\) 和 \(\mathbf{n}_2\)) 之間的夾角相同。
\(\cos \theta = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1| |\mathbf{n}_2|}\)
C. 直線與平面之間的夾角
注意！ 這一個有點不同。直線（方向 \(\mathbf{d}\)）與平面（法向量 \(\mathbf{n}\)）之間的夾角 \(\theta\) 使用的是正弦 (sine) 而非餘弦：
\(\sin \theta = \frac{|\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{d}| |\mathbf{n}|}\)
為什麼？因為點積給出的是直線與法向量之間的夾角。由於法向量與平面成 90°，我們使用餘角 (90 - \(\phi\))，這會將餘弦轉換為正弦！
重點總結： 直線-直線及平面-平面使用 \(\cos \theta\)。直線-平面則使用 \(\sin \theta\)。
4. 交點與關係
A. 兩條直線
在 3D 中，兩條直線可能有以下關係：
1. 平行：方向向量互為倍數。
2. 相交：它們在一個點相遇。
3. 異面 (Skew)：它們不平行且永遠不會相遇（就像兩架飛機在不同高度以不同方向飛行）。
4. 重合：它們實際上是同一條直線。
B. 直線與平面
要找出直線 \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{d}\) 與平面 \(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = d\) 的交點：
1. 將直線的表示式代入平面的方程式。
2. 解出 \(\lambda\)。
3. 將 \(\lambda\) 代回直線方程式以求得交點。
C. 兩個平面
如果兩個平面不平行，它們相交會形成一條直線。你可以通過對兩個法向量進行向量積（叉積）來找到這條線的方向：\(\mathbf{d}_{line} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2\)。
重點總結： 如果直線方向與平面法向量的點積為零 (\(\mathbf{d} \cdot \mathbf{n} = 0\))，則該直線平行於該平面。
5. 垂線與距離
A. 垂足（點到直線）
要找到點 \(P\) 在直線上的「影子」：
1. 令 \(F\) 為直線上的垂足。使用直線參數 \(\lambda\) 表示 \(F\)。
2. 建立向量 \(\vec{PF}\)。
3. 因為 \(\vec{PF}\) 垂直於直線，令 \(\vec{PF} \cdot \mathbf{d} = 0\)。
4. 解出 \(\lambda\) 並求得 \(F\) 的座標。
B. 垂足（點到平面）
要找到點 \(P\) 到平面的垂足 \(F\)：
1. 建立一條「微直線」，從 \(P\) 開始並沿著平面的法向量 \(\mathbf{n}\) 方向延伸。
2. 找出這條微直線與平面的交點。那個交點就是 \(F\)！
C. 點到平面的距離
如果你有一個點 \(P(x_1, y_1, z_1)\) 和一個平面 \(ax + by + cz = d\)，最短距離為：
長度 = \(\frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
這其實就是向量 \(\vec{PF}\) 的長度！
常見錯誤： 在距離公式中忘記了絕對值符號。距離永遠不可能是負數！
重點總結： 每當聽到「最短距離」或「垂直」時，請想到點積 = 0 或使用提供的特定公式。
總結檢查清單
• 我會轉換直線與平面的向量形式和笛卡兒形式嗎？
• 我記得直線-平面夾角要用 \(\sin \theta\) 嗎？
• 我能透過代入 \(\lambda\) 找到直線與平面的交點嗎？
• 我知道異面直線是不平行且永遠不會相遇的直線嗎？
• 我是否熟練於使用點積來尋找垂足？
做得好！3D 幾何的核心在於視覺化。如果你卡住了，試著快速畫出直線與法向量的草圖，這能幫助你釐清它們的關係。你一定沒問題的！