歡迎來到二次函數的世界！
你好！歡迎來到附加數學（Additional Mathematics）中最重要的章節之一。你可能在初中數學中已經接觸過二次方程，但在附加數學 (4049) 中，我們會探討得更深一點。我們不只是要找出「x」，更要了解這些函數的特性，例如如何找出它們的最高點或最低點，甚至預測它們是否會碰到 x 軸！
二次函數在現實生活中無處不在——從計算籃球投籃的軌跡，到設計衛星天線的弧度。如果一開始覺得有點抽象，別擔心，我們會一步一步為你拆解。
1. 基礎知識：什麼是二次函數？
二次函數通常以一般式 (General Form) 表示：
\( y = ax^2 + bx + c \)
圖像的「形狀」完全取決於 \( a \) 的值：
- 若 \( a > 0 \)（正數），圖像呈現「笑臉」（U 型）。它擁有一個最小值點。
- 若 \( a < 0 \)（負數），圖像呈現「哭臉」（n 型）。它擁有一個最大值點。
溫馨小撇步：把「正數」想像成開心（笑臉），把「負數」想像成難過（哭臉）。這個小技巧能幫你一眼看出圖像的形態！
2. 尋找最大/最小值：配方法
在附加數學中，我們經常需要找出曲線「頂峰」或「谷底」的確切坐標。這個點稱為頂點 (Vertex)。為了找出它，我們使用配方法 (Completing the Square)，將一般式轉換為頂點式 (Vertex Form)：
\( y = a(x - h)^2 + k \)
其中 \( (h, k) \) 即為最大值點或最小值點。
配方法步驟教學：
讓我們試試這個例子：\( y = 2x^2 - 8x + 5 \)
- 提出 'a'：將 \( x^2 \) 和 \( x \) 項中的 2 提出來：
\( y = 2(x^2 - 4x) + 5 \) - 加減 x 系數一半的平方：
在括號內，將 \(-4\) 除以 2 得到 \(-2\)，然後平方得到 \( (-2)^2 \)。
\( y = 2[x^2 - 4x + (-2)^2 - (-2)^2] + 5 \) - 湊成完全平方式：
\( y = 2[(x - 2)^2 - 4] + 5 \) - 展開並簡化：
\( y = 2(x - 2)^2 - 8 + 5 \)
\( y = 2(x - 2)^2 - 3 \)
結論：最小值為 \( -3 \)，且發生在 \( x = 2 \) 時。該點坐標為 \( (2, -3) \)。
常見錯誤：許多學生會忘記將「減去的數」乘以括號外的係數。在上面的例子中，別忘了括號內的 \(-4\) 必須乘以括號外的 \( 2 \)，變成 \(-8\)！
關鍵重點：
形式 \( y = a(x - h)^2 + k \) 能告訴你一切：\( k \) 是最大/最小值，而 \( h \) 則是該點對應的 x 坐標。
3. 根的性質（判別式）
有時我們不需要畫圖，就能知道曲線與 x 軸（或其他直線）相交多少次。我們使用判別式 (Discriminant)： \( D = b^2 - 4ac \)。
- 若 \( b^2 - 4ac > 0 \)：曲線與 x 軸交於兩個不同的實點。
- 若 \( b^2 - 4ac = 0 \)：曲線切於 x 軸的一點（相切）。我們稱之為「兩個相等的實根」。
- 若 \( b^2 - 4ac < 0 \)：曲線從不接觸 x 軸。即「無實根」。
你知道嗎？「判別式」(Discriminant) 一詞源自「判別」(discriminate)，意指分辨事物之間的差異。它正好幫助我們分辨這三種不同類型的圖像！
4. 「恆正」或「恆負」的條件
這是考試的最愛！有時題目會問：\( ax^2 + bx + c \) 對於所有實數 \( x \) 均恆正的條件是什麼。
恆正（圖像「浮」在上方）：
函數要始終位於 x 軸上方，必須滿足：
- 必須是笑臉： \( a > 0 \)
- 必須從不接觸 x 軸： \( b^2 - 4ac < 0 \)
恆負（圖像「沉」在下方）：
函數要始終位於 x 軸下方，必須滿足：
- 必須是哭臉： \( a < 0 \)
- 必須從不接觸 x 軸： \( b^2 - 4ac < 0 \)
記憶技巧：注意到無論哪種情況，判別式 \( b^2 - 4ac \) 都是小於零的。為什麼？因為「恆正/恆負」意味著圖像永不跨越 x 軸！
5. 二次函數的建模應用
在現實世界中，許多物體都遵循拋物線路徑。當解決建模問題時，請遵循以下步驟：
- 定義變量：通常 \( y \) 代表高度或利潤，而 \( x \) 代表時間或距離。
- 找出關鍵字：如果題目問「最大高度」，他們就是想讓你找出頂點（使用配方法）。
- 解釋截距：y 截距通常是起始點（當 \( x = 0 \) 時）。x 截距（根）通常是物體落地或回到地面時的時間或距離。
例子：球被拋出，其高度 \( h \) 由 \( h = -5t^2 + 20t + 2 \) 給出。要找出最大高度，你需要配方以找到這條「哭臉」曲線的頂點。
最終複習
- 一般式： \( y = ax^2 + bx + c \)
- 頂點式： \( y = a(x - h)^2 + k \)。(配方法)。
- 最大/最小值： 觀察 \( a \) 的正負號。
- 交點/根： 使用判別式 \( b^2 - 4ac \)。
- 恆正： \( a > 0 \) 且 \( b^2 - 4ac < 0 \)。
- 恆負： \( a < 0 \) 且 \( b^2 - 4ac < 0 \)。
繼續練習！二次函數是你以後學習微積分 (Calculus) 的基石。你能行的！