歡迎來到三角函數的世界！

你好！今天我們將深入探討三角函數（Trigonometry）。你可能在初中數學學過三角形，但在附加數學（Additional Mathematics）中，我們會更進一步。我們將探討角度和邊長比例如何像波浪一樣變動，並學習如何利用「恆等式」（數學規則）來解決複雜的難題。你可以把這一章看作是為導航、工程，甚至是音樂製作建立一個「工具箱」！

如果起初覺得有點棘手，不用擔心——我們會把它拆解成小部分逐一學習。讓我們開始吧！

1. 六個三角函數

你已經認識了正弦（sin）、餘弦（cos）和正切（tan）。現在，來認識一下它們的「倒數」夥伴。它們其實就是原本三個函數的「翻轉」版本！

  • 餘割（cosec A） = \( \frac{1}{\sin A} \)
  • 正割（sec A） = \( \frac{1}{\cos A} \)
  • 餘切（cot A） = \( \frac{1}{\tan A} \) 或 \( \frac{\cos A}{\sin A} \)
💡 記憶小撇步！

記住哪對是哪對：名字有「C」的（Secant）配沒有「C」的（Cosine），名字有「Co」開頭的（Cosecant）配沒有「Co」的（Sine）。它們的首字母總是交叉配對的！

任意大小的角度

在附加數學中，角度不僅限於三角形內；它們可以在圓周上不斷旋轉！我們使用 ASTC 圖（或稱為「CAST」規則）來判斷哪個函數在該象限為正值：

  • 第一象限 (0° 至 90°): All（全部）皆為正。
  • 第二象限 (90° 至 180°): 只有 Sine（正弦）為正。
  • 第三象限 (180° 至 270°): 只有 Tangent（正切）為正。
  • 第四象限 (270° 至 360°): 只有 Cosine（餘弦）為正。

類比：記作「Add Sugar To Coffee」（加糖到咖啡裡）！

快速複習：特殊角

你必須熟記 \(30^\circ, 45^\circ\) 和 \(60^\circ\)（或弧度制的 \( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3} \)）的準確數值。例如，\( \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \) 且 \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)。在完全背熟之前，請準備一張參考表在身邊！

重點總結： 總共有六個三角函數，它們的符號（正或負）取決於角度位於哪個象限。

2. 圖像：波動的世界

當三角函數被繪製出來時，看起來就像重複的波浪。其一般式為 \( y = a \sin(bx) + c \) 和 \( y = a \cos(bx) + c \)。

這些字母代表什麼？

  • a (振幅 Amplitude): 這是波浪從中心線起算的垂直高度。如果 \( a = 3 \)，波浪會向上升 3 個單位，並向下落 3 個單位。
  • b (週期性 Periodicity): 這告訴你在 \( 360^\circ \)（或 \( 2\pi \)）範圍內會出現多少個週期。週期（Period）（一個完整波浪的長度）計算公式為 \( \frac{360^\circ}{b} \) 或 \( \frac{2\pi}{b} \)。
  • c (垂直位移 Vertical Shift): 這會將整個波浪向上或向下平移。
你知道嗎？

正切圖（Tangent graph）很不一樣！它沒有振幅，因為它會向上延伸至無窮大，而且它有被稱為漸近線（asymptotes）的「圍欄」，圖形無法穿過這些線。

重點總結： 振幅是高度，週期是長度，圖形會規律地重複出現。

3. 三角恆等式：你的工具袋

恆等式是永遠成立的方程式。你可以用它們來簡化繁瑣的表達式，或證明方程式的兩邊相等。

「三大」畢氏恆等式：

  1. \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \)
  2. \( \sec^2 A = 1 + \tan^2 A \)
  3. \( \text{cosec}^2 A = 1 + \cot^2 A \)

加法與倍角公式：

這些公式能幫助你拆解像 \( (A + B) \) 或 \( (2A) \) 這樣的角度：

  • \( \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \)
  • \( \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B \) （注意正負號會翻轉！）
  • \( \sin 2A = 2 \sin A \cos A \)
  • \( \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A \)
避免常見錯誤：

學生常誤以為 \( \sin(2A) \) 等同於 \( 2\sin(A) \)。事實並非如此！請務必使用公式。例如，若 \( A = 30^\circ \)，則 \( \sin(60^\circ) \neq 2\sin(30^\circ) \)。

重點總結： 恆等式就像快捷鍵。如果你看到 \( \sin^2 A + \cos^2 A \)，你可以立即把它變成 1！

4. R-公式

有時我們會有正弦和餘弦的組合，例如 \( a \cos \theta + b \sin \theta \)。這很難直接解開，所以我們把它轉換成一個單一的波浪：

\( R \cos(\theta \pm \alpha) \) 或 \( R \sin(\theta \pm \alpha) \)

求 R：\( R = \sqrt{a^2 + b^2} \)
求 \( \alpha \)：\( \tan \alpha = \frac{opposite\_coefficient}{adjacent\_coefficient} \) （對邊係數/鄰邊係數）

重點總結： R-公式可用於求表達式的最大值與最小值（最大值為 \( R \)，最小值為 \( -R \)）。

5. 解三角方程式

解 \( \sin x = 0.5 \) 就像跳一場三步舞：

  1. 第一步：求基本角（\( \alpha \)）。 忽略負號（若有）。\( \alpha = \sin^{-1}(0.5) = 30^\circ \)。
  2. 第二步：識別象限。 根據符號（+ 或 -）和 ASTC 圖判斷。由於正弦為正，我們看第一和第二象限。
  3. 第三步：求範圍內的角度。
    • 第一象限：\( x = \alpha = 30^\circ \)
    • 第二象限：\( x = 180^\circ - \alpha = 150^\circ \)
快速複習：反三角函數限制

當你使用計算機輸入 \( \sin^{-1}, \cos^{-1} \text{ 或 } \tan^{-1} \) 時，它只會給你主值（Principal Values）（通常是最小的角度）。你必須使用象限圖來找出所有可能的答案！

重點總結： 務必檢查題目給定的範圍！如果題目要求 \( 0^\circ \le x \le 360^\circ \)，請確保沒有遺漏圓周上的任何一圈旋轉。

6. 證明恆等式

證明題看起來很嚇人，但這只是一場替換遊戲。這裡有一些小撇步：

  • 從較複雜的一側開始（通常是左手邊 LHS）。
  • 如果卡住了，將所有東西轉換為正弦和餘弦。
  • 檢查分數——嘗試用公分母將它們結合起來。
  • 尋找平方項——這些是使用畢氏恆等式的提示。

「如果試了幾次不成功也不要擔心。證明就像解拼圖；有時你需要換一塊拼圖，看看它是否合適！」

重點總結： 在證明過程中，永遠不要把項移動到等號的另一邊。請專注於其中一邊，直到它看起來與另一邊完全相同為止！