歡迎來到數與代數：AI 數學的基石！

哈囉，未來的數學家們！本章「數與代數」是我們為整個「應用與解釋」（Applications and Interpretation, AI）課程建立核心工具包的地方。雖然聽起來可能很理論，但這一節內容非常實用——它是我們在現實世界中模擬財務增長、人口變化和誤差分析時所使用的語言。

別擔心，如果代數過去不是你的強項也沒關係。我們非常著重於如何有效地使用你的計算機（GDC），讓你能夠專注於正確地構建問題，並最重要的是，學會解讀結果。

第 1 節：應用數學中的精確度與誤差

在 AI 課程中，我們處理的是真實數據，而真實數據很少是完全完美的。了解如何精確處理數字並量化測量誤差，對於建立可靠的數學模型至關重要。

1.1 近似值的處理

我們經常需要對數字進行四捨五入。表達精確度的兩種主要方式如下：

  • 小數點位數 (dp)： 這是計算小數點之後的位數。例如，\(4.5678\) 取 2 位小數 (2 dp) 為 \(4.57\)。
  • 有效數字 (sf)： 這與數值的可靠性有關，計算所有非零數字，以及任何非單純佔位的零。
    例子：
    • \(105.2\) 有 4 位有效數字。
    • \(0.0034\) 有 2 位有效數字（開頭的零不計入）。
    • \(5000\) 根據上下文，可能有 1、2、3 或 4 位有效數字（除非標明小數點，否則預設為 1 位有效數字；例如 \(5000.\) 即表示有 4 位有效數字）。

常見錯誤（請避免）： 在計算過程中如果需要多次四捨五入，請務必只在最後答案進行。計算中間過程的值請存儲在你的 GDC 中！

1.2 百分比誤差

我們的誤差有多大？百分比誤差告訴我們相對於真值而言，誤差的大小比例，通常以百分比表示。這是 AI 課程中評估模型成功與否的關鍵技能。

公式： \[ \text{Percentage Error} = \frac{| \text{近似值} - \text{真值} |}{\text{真值}} \times 100\% \]

  • 垂直線 \(|\dots|\) 代表我們取絕對值（誤差永遠被視為正數）。
  • 現實例子： 如果你估算建築物的高度（近似值 = 24m），但實際高度為 25m（真值），則百分比誤差為：
    \( \frac{|24 - 25|}{25} \times 100\% = \frac{1}{25} \times 100\% = 4\% \)

重點總結： 精確度很重要。使用正確的四捨五入方法（有效數字或小數點位數），並記住百分比誤差公式，用以量化模型的成敗。

第 2 節：數列與級數——建模增長

數列（Sequences）是有序的數字列表，而級數（Series）則是這些數字的總和。我們主要研究兩種類型：線性增長（等差）和指數增長（等比）。

2.1 等差數列與等差級數

定義： 每一項與前一項的差為常數（即公差，\(d\)），透過加減該數字來得到下一項。
類比： 就像每個月固定加薪 $100。這是一種線性、穩定的增長。

公式（請查閱你的公式手冊！）：

  • 第 \(n\) 項 (\(u_n\))： \( u_n = u_1 + (n-1)d \)
    （其中 \(u_1\) 為首項，\(n\) 為項數。）
  • 前 \(n\) 項和 (\(S_n\))： \( S_n = \frac{n}{2} (2u_1 + (n-1)d) \)
    或 \( S_n = \frac{n}{2} (u_1 + u_n) \)

2.2 等比數列與等比級數

定義： 每一項與前一項的比為常數（即公比，\(r\)），透過乘除該數字來得到下一項。
類比： 就像複利——你的增長基於當前的總金額，導致快速（指數級）增長。

公式（請查閱你的公式手冊！）：

  • 第 \(n\) 項 (\(u_n\))： \( u_n = u_1 r^{n-1} \)
  • 前 \(n\) 項和 (\(S_n\))： \( S_n = \frac{u_1 (r^n - 1)}{r - 1} \)，其中 \(r \ne 1\)

2.3 等比級數：無窮項的情況（僅限 HL）

HL 學生注意： 如果公比 \(r\) 介於 \(-1\) 和 \(1\) 之間（即 \(|r| < 1\)），數列的各項最終會變得很小，其總和會趨近於一個有限的極限。這就是無窮級數和，\(S_{\infty}\)。

無窮級數和公式： \[ S_{\infty} = \frac{u_1}{1 - r} \quad \text{對於 } |r| < 1 \] 你知道嗎？ 這個概念在經濟學中用於計算政府支出對經濟的總體影響（乘數效應）。

重點總結： 等差是線性的，等比是指數的。等比增長（乘法）對於理解財務運作至關重要。

第 3 節：財務數學——AI 課程的核心

財務應用是 AI 課程中等比數列最常見的實際應用。你必須熟悉相關術語，並熟練使用 GDC 的財務計算器（TVM Solver）。

3.1 單利與複利

單利 (Simple Interest)： 利息僅按原始本金計算。屬於線性增長（等差）。

複利 (Compound Interest)： 利息按本金加上之前累積的利息計算。屬於指數增長（等比）。這是絕大多數儲蓄和貸款的標準計息方式。

複利公式： \[ FV = PV \left( 1 + \frac{r}{100k} \right)^{nk} \] 參數說明：

  • FV： 未來值（最終金額）
  • PV： 現值（初始本金）
  • r： 年名義利率 (%)
  • n： 年數
  • k： 每年計息期數（例如：k=4 代表每季計息）

3.2 使用 GDC (TVM Solver)

TVM 求解器是你最好的朋友。它能處理複雜的財務計算，特別是在處理年金（定期付款）時。

TVM 變數說明：

  • N： 付款/計息總期數 (\(N = n \times k\))。
  • I%： 年利率（以百分比形式輸入）。
  • PV： 現值（初始存款或貸款金額）。如果是從你口袋流出的錢，通常輸入負數。
  • PMT： 付款金額（標準複利計算中此項為 0）。
  • FV： 未來值（目標儲蓄或剩餘餘額）。
  • P/Y 和 C/Y： 每年付款次數和每年計息次數。在 AI 課程中，這兩個數通常是一樣的！（例如：每月付款則為 12）。

專業提示：符號慣例！ 錢流出你的口袋（存款、貸款本金）為負數。錢流入你的帳戶（未來的存款、貸款撥款）為正數。保持一致性是關鍵！

3.3 折舊 (HL/SL)

折舊是隨時間推移而損失的價值。數學上，它的運作方式與複利完全相同，但利率 \(r\) 為負值。

  • 如果一輛汽車每年折舊 15%，那麼它每年的價值會乘以 \( (1 - 0.15) = 0.85 \)。
3.4 年金與攤銷 (HL 重點)

年金涉及定期、固定的付款（PMT）。貸款、按揭和定期退休儲蓄計畫都是年金的例子。

HL 學生： 你必須能夠使用 TVM 求解器計算貸款的每月還款額 (PMT)，確定支付的利息總額，並可能需要構建簡單的攤銷表（顯示每次還款中有多少比例用於償還本金，多少用於支付利息）。

重點總結： 財務數學的核心就是等比數列。請精通 TVM Solver 並掌握正負號的使用規則（現金流的方向）。

第 4 節：解線性方程組 (HL 延伸)

有時，我們的實際問題涉及多個必須同時滿足的條件——這就會引出線性方程組。

4.1 線性方程組 (SL/HL)

對於 2x2 或 3x3 的方程組，在 AI 課程中，最簡單的方法是利用 GDC 來求解：
例子： 一家麵包店販售瑪芬 (x) 和可頌 (y)。
方程 1 (成本)： \( 2x + 3y = 15 \)
方程 2 (數量)： \( x + y = 6 \)

  • GDC 方法 1 (圖解法)： 將方程輸入為 \(Y=\) 並找到交點。（最適合 2x2）。
  • GDC 方法 2 (求解器)： 使用內建的線性方程求解應用程式（通常在 'Apps' 或 'Solve' 下）。（最適合 3x3）。
4.2 矩陣與方程組 (僅限 HL)

對於更複雜的系統，矩陣提供了一種組織和求解的有效方式。

線性方程組可以寫成矩陣形式： \( AX = B \)
其中：

  • A： 係數矩陣（\(x, y, z\) 前面的數字）。
  • X： 變數矩陣（例如 \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)）。
  • B： 常數矩陣（等號右邊的數字）。

要找到解（變數矩陣 \(X\)），我們必須使用反矩陣 \(A^{-1}\)： \[ X = A^{-1} B \]

GDC 步驟操作 (HL)：

  1. 在 GDC 的矩陣編輯器中定義矩陣 A（係數）和矩陣 B（常數）。
  2. 計算 A 的反矩陣： \( A^{-1} \)。
  3. 相乘： \( A^{-1} \times B \)。所得結果矩陣即為解 \(X\)。

重要概念： 矩陣系統僅在矩陣 A 的行列式 (determinant) 不為零時才擁有唯一解。如果行列式為零，則矩陣是奇異矩陣（singular），該系統要麼無解，要麼有無窮多解。

重點總結： 利用科技手段解決線性系統。HL 學生必須熟練運用反矩陣方法 \(X = A^{-1} B\)。

快速複習：核心公式與概念


  • 百分比誤差： \( \frac{|\text{近似值} - \text{真值}|}{\text{真值}} \times 100\% \)
  • 等差數列： \( u_n = u_1 + (n-1)d \)
  • 等比數列： \( u_n = u_1 r^{n-1} \)
  • 複利/折舊： \( FV = PV \left( 1 + \frac{r}{100k} \right)^{nk} \)
  • HL 矩陣解法： \( X = A^{-1} B \)

記住：在 AI 課程中，問題的構建和結果的解釋與計算本身同樣重要。務必檢查你的答案在現實情境中是否合理！祝你好運！