歡迎來到進位制的世界！
哈囉，未來的電腦科學家們！這一章「進位制轉換 (Converting between Number Bases)」是理解電腦如何儲存與處理資訊的基石。如果這些數字一開始看起來很陌生，請別擔心——這就像學習一門新語言一樣。一旦你掌握了規則，你很快就能隨心所欲地進行轉換！
在本章中，我們將學習如何在計算機領域中最重要的三種進位制之間進行轉換：十進位 (Denary/Base 10)、二進位 (Binary/Base 2)，以及十六進位 (Hexadecimal/Base 16)。
為什麼我們需要不同的進位制？
我們使用十進位是因為我們有 10 根手指（這真是個方便的巧合！）。然而，電腦只懂電力——不是 ON（開）就是 OFF（關）。這種開/關狀態由 1 和 0 代表，這就是為什麼它們使用二進位。十六進位則是一種方便的速記法，讓程式設計師能快速閱讀長串的二進位碼！
三種基本的進位制
1. 十進位 (Denary - Base 10)
這是我們日常生活中使用的標準數字系統。它使用 10 個數字（0 到 9）。
- 基數： 10
- 使用的數字： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- 位值 (10 的冪)： \(10^3\) (千位), \(10^2\) (百位), \(10^1\) (十位), \(10^0\) (個位)
2. 二進位 (Binary - Base 2)
這是電腦的母語。它只使用兩個數字：0 和 1。
- 基數： 2
- 使用的數字： 0, 1
- 關鍵術語： 單個二進位數字稱為位元 (bit)。八個位元組成一個位元組 (byte)。
- 位值 (2 的冪)： \(2^7, 2^6, 2^5, 2^4, 2^3, 2^2, 2^1, 2^0\) (128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1)
3. 十六進位 (Hexadecimal - Base 16)
十六進位用於以緊湊的方式表示長串的二進位數字（例如顏色代碼或記憶體位址）。由於我們需要 16 個不同的符號，我們使用 0-9，然後加上字母 A-F。
- 基數： 16
- 使用的數字： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
十六進位對照表
這張表至關重要！請務必記住 A 到 F 代表的十進位數值。
A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15
轉換 1：十進位轉二進位 (十進位轉二進位)
我們使用連續除以 2 法 (Repeated division by 2)。這是將十進位數字轉換為二進位最可靠的方法。
步驟拆解：將十進位的 149 轉換為二進位
目標： 將 \(149_{10}\) 轉換為二進位。
- 將十進位數字除以 2。
- 記錄餘數（只會是 0 或 1）。
- 將商取整數繼續進行除法。
- 持續計算直到商為 0。
- 將餘數由下往上讀取。
\(149 \div 2 = 74\) 餘數 1
\(74 \div 2 = 37\) 餘數 0
\(37 \div 2 = 18\) 餘數 1
\(18 \div 2 = 9\) 餘數 0
\(9 \div 2 = 4\) 餘數 1
\(4 \div 2 = 2\) 餘數 0
\(2 \div 2 = 1\) 餘數 0
\(1 \div 2 = 0\) 餘數 1
由下往上讀取餘數：10010101
十進位轉二進位的小撇步
一定要使用連續除以 2 的方法，並記住黃金法則：必須由下往上讀取餘數，才能得到最終的二進位答案。
轉換 2：二進位轉十進位 (二進位轉十進位)
這種轉換通常比較容易！我們使用位值 (Place value)系統，也就是 2 的冪次方。
步驟拆解：將二進位的 10110011 轉換為十進位
目標： 將 \(10110011_2\) 轉換為十進位。
- 寫下二進位的位值（從 128 到 1）。（因為有 8 個位元，所以我們使用 8 個位置）。
- 將二進位數字直接寫在位值下方。
- 將位值下方為 '1' 的數值相加。
二進位數字： 1 0 1 1 0 0 1 1
計算：
\(128 \times 1 = 128\)
\(64 \times 0 = 0\)
\(32 \times 1 = 32\)
\(16 \times 1 = 16\)
\(8 \times 0 = 0\)
\(4 \times 0 = 0\)
\(2 \times 1 = 2\)
\(1 \times 1 = 1\)
總和： \(128 + 32 + 16 + 2 + 1 = 179\)
十進位數值為 \(179_{10}\)。
位值的記憶輔助
如果一開始覺得困難別擔心！ 記住 8 個位元的值：128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1。它們每向左移動一位，數值就會加倍！
轉換 3 & 4：二進位與十六進位
在二進位與十六進位之間轉換是最簡單的，因為十六進位只是二進位的速記法。每一個十六進位數字恰好代表四個二進位位元。這四個位元被稱為一個半位元組 (nybble)。
A. 二進位轉十六進位 (二進位轉十六進位)
步驟拆解：將二進位的 11010110 轉換為十六進位
目標： 將 \(11010110_2\) 轉換為十六進位。
- 將二進位數字從右往左每四個位元一組（半位元組）。
\(1101 \quad 0110\)
- 使用 8, 4, 2, 1 的位值，將每組 4 位元轉換為十進位。
第一組 (1101)： \(8+4+0+1 = 13\)
第二組 (0110)： \(0+4+2+0 = 6\) - 將所得的十進位數值轉換為十六進位數字（若有必要則使用 A-F）。
十六進位中的 \(13\) 是 D
十六進位中的 \(6\) 是 6
十六進位數值為 D6。
B. 十六進位轉二進位 (十六進位轉二進位)
步驟拆解：將十六進位的 3F 轉換為二進位
目標： 將 \(3F_{16}\) 轉換為二進位。
- 將每個十六進位數字拆開。 (3 和 F)
- 將每個數字轉換為對應的十進位。 (3 和 15)
- 將每個十進位數值轉換為 4 位元的二進位組。
數字 3： 十進位 3。使用 8, 4, 2, 1 的位值，我們需要 2 + 1。
\(\rightarrow 0011\)
數字 F： 十進位 15。使用 8, 4, 2, 1 的位值，我們需要 8 + 4 + 2 + 1。
\(\rightarrow 1111\)
組合起來： \(00111111\)
二進位數值為 \(00111111_2\)。（前導零很重要，才能維持 4 位元的結構清楚！）
你知道嗎？
網站上的顏色代碼通常以十六進位書寫！例如，純紅色可能是 #FF0000。FF 代表紅色的亮度為 255（最大亮度）。這比寫出 24 位元的二進位簡短多了！
轉換 5：十進位與十六進位
雖然可以直接轉換（使用重複除以 16 法），但對於 GCSE 學生來說，透過二進位進行轉換通常更安全也更簡單。這能讓你練習剛才學到的技能！
A. 十進位轉十六進位 (經由二進位)
步驟 1： 將十進位轉換為二進位（使用重複除以 2 法）。
步驟 2： 將得到的二進位轉換為十六進位（透過每 4 個位元分組）。
- 十進位轉二進位： \(150_{10} = 10010110_2\)
- 二進位轉十六進位（每 4 位一組）： \(1001 \quad 0110\)
- \(1001 = 9\)。 \(0110 = 6\)。
- 結果： \(96_{16}\)
B. 十六進位轉十進位 (經由二進位)
步驟 1： 將十六進位轉換為二進位（將每個位數轉換為 4 位元的半位元組）。
步驟 2： 將得到的二進位轉換為十進位（使用 128, 64, 32 等位值）。
- 十六進位轉二進位：
A = 1010
5 = 0101
組合： \(10100101_2\) - 二進位轉十進位：
\(128+0+32+0+0+4+0+1 = 165\)
- 結果： \(165_{10}\)
快速複習與常見錯誤
快速複習：轉換流程
關鍵在於理解各種進位制之間的關係：
二進位 \(\leftrightarrow\) 十六進位 (使用 4 位元分組)
常見陷阱，請避開！
- 十進位轉二進位時： 忘記將餘數由下往上讀取。
- 十六進位轉二進位時： 把一個十六進位位數（例如 F=15）寫成了 8 位元。記住，一個十六進位位數永遠等於 4 個位元 (1111)。
- 二進位轉十進位時： 漏掉位值或是搞混數值（例如弄錯 32 和 16）。在開始之前，請務必清楚寫下 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 這一行位值表。
恭喜你已經學會了資料表示法的核心！熟能生巧——試著把你自己的年齡、門牌號碼或幸運數字在這三種進位制間轉換看看。你絕對沒問題的！