Functions, graphs and calculus

歡迎來到函數、圖形與微積分的世界！

你好，未來的數學家！這個章節將會非常精彩。我們將超越簡單的方程式，開始探索不同數量之間如何以強大的方式互相聯繫。我們將學習如何使用函數（functions）來建立流程模型，如何理解複雜的圖形（graphs），並會引入令人驚嘆的微積分（Calculus）——即研究變化的數學。如果這聽起來有些嚇人，請別擔心；我們會一步一步拆解每一個概念！

為什麼這很重要？ 函數和圖形是科學和經濟學的語言。微積分則是工程師和物理學家計算速度、加速度和流量的基礎。掌握這個主題，你將獲得強大的數學能力！

第一部分：理解函數

什麼是函數？

函數本質上是一部數學機器。你將一個輸入值（input）放入機器中，它會使用固定的規則進行處理，並產生唯一的一個輸出值（output）。

• 輸入值的集合通常被稱為定義域（Domain）。
• 輸出值的集合通常被稱為值域（Range）。

核心規則是：對於每一個輸入值，必須只能有一個獨特的輸出值。想像自動販賣機：你按下「A1」（輸入），你會得到特定的零食（輸出）。如果按下「A1」有時給你飲料，有時給你一包薯片，那這就不會是一個穩定的函數了！

函數標記法：\(f(x)\)

與其寫 \(y = 2x + 1\)，我們改用函數標記法：

\(f(x) = 2x + 1\)

我們讀作「f of x 等於 2x 加 1」。

如何計算函數值

如果你被要求求出 \(f(3)\)，這意味著你要將所有看到的 \(x\) 替換為 3。

逐步範例：

1. 從函數規則開始：\(f(x) = x^2 - 5\)
2. 代入輸入值 (4)：\(f(4) = (4)^2 - 5\)
3. 計算：\(f(4) = 16 - 5\)
4. 結果：\(f(4) = 11\)

重點提示： \(f(x)\) 其實就是 \(y\) 的另一種高級寫法。

複合函數：\(fg(x)\)

複合函數是指一個函數的輸出變成了另一個函數的輸入。這就像連鎖反應一樣！

如果我們有兩個函數 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，複合函數 \(fg(x)\) 意思是：首先應用 \(g\)，然後再應用 \(f\)。

類比： 想像工廠裡的兩道工序。\(g\) 是第一步（切割木材），而 \(f\) 是第二步（為木材上漆）。切割機的輸出會直接進入上漆機。

求 \(fg(x)\) 的步驟：

設 \(f(x) = 2x + 1\) 且 \(g(x) = x^2\)

1. 找出「內層」函數：\(g(x) = x^2\)。
2. 將整個內層函數代入外層函數 \(f\) 中：

   與其寫 \(f(x) = 2(x) + 1\)，我們寫成：

   \(fg(x) = f(g(x)) = 2(x^2) + 1\)

3. 簡化：\(fg(x) = 2x^2 + 1\)

常見錯誤提醒！ 永遠由內而外運算。\(fg(x)\) 與 \(gf(x)\) 是不相等的。

反函數：\(f^{-1}(x)\)

反函數，記作 \(f^{-1}(x)\)，是能夠抵消原函數 \(f(x)\) 所做操作的函數。如果 \(f(5) = 10\)，那麼 \(f^{-1}(10) = 5\)。

\(f^{-1}(x)\) 的圖形永遠是 \(f(x)\) 的圖形沿直線 \(y = x\) 的反射（reflection）。

求 \(f^{-1}(x)\) 的步驟：

設 \(f(x) = 3x - 6\)

1. 將 \(f(x)\) 換成 \(y\)：

   \(y = 3x - 6\)

2. 交換 \(x\) 和 \(y\)：（這是建立反關係的關鍵步驟）

   \(x = 3y - 6\)

3. 重組方程式，使 \(y\) 成為主項（解出 \(y\)）：

   \(x + 6 = 3y\)

   \(\frac{x + 6}{3} = y\)

4. 將 \(y\) 換回 \(f^{-1}(x)\)：

   \(f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{3}\)

記憶技巧： 要找反函數，只需交換再解出（Swap and Solve）！

第二部分：進階圖形繪製與變換

你必須掌握的關鍵圖形形狀

了解函數的基本形狀對於繪製圖形至關重要。

1. 線性函數： \(y = mx + c\)

   形狀：直線。

2. 二次函數： \(y = ax^2 + bx + c\)

   形狀：拋物線（U型或倒U型）。如果 \(a > 0\)，是「笑臉」（最小值點）。如果 \(a < 0\)，是「哭臉」（最大值點）。

3. 三次函數： \(y = ax^3 + \dots\)

   形狀：S型，或一段略微平緩的曲線。它最多有兩個轉向點。

4. 倒數函數： \(y = \frac{k}{x}\)

   形狀：兩條獨立的曲線（位於對角象限），永不觸碰座標軸。這些軸被稱為漸近線（asymptotes）。

5. 指數函數： \(y = k^x\)

   形狀：生長或衰減極快的曲線。它在 \((0, 1)\) 處穿過 y 軸（若 \(k>0\)），且永不觸碰 x 軸。

圖形變換

如果你知道簡單函數 \(y = f(x)\) 的圖形，你可以透過平移、拉伸或反射輕鬆找到相關函數的圖形。

假設我們從 \(y = f(x)\) 的圖形開始。

1. 平移 (Translation)

平移會在不改變形狀或方向的情況下移動圖形。

• 垂直位移（外部改變）：

  \(y = f(x) + a\)

  效果：將圖形向上平移 \(a\) 個單位（若 \(a\) 為正）。

  例子：\(y = x^2 + 3\) 的圖形就是 \(y = x^2\) 向上移動了 3 個單位。



• 水平位移（內部改變）：

  \(y = f(x + a)\)

  效果：將圖形向左平移 \(a\) 個單位（若 \(a\) 為正）。

  重要技巧：括號內部的變化會影響 x 座標，而且它們的效果與你的直覺相反。如果你看到 \(+a\)，你要向左移動（負 x 方向）。

記憶技巧： 內部騙人（INSIDE LIES）！（函數括號內的變化與符號暗示的方向正好相反。）

2. 反射 (Reflection)

反射會將圖形沿軸翻轉。

• 沿 x 軸反射：

  \(y = -f(x)\)

  效果：所有 y 座標乘以 \(-1\)。圖形垂直翻轉。



• 沿 y 軸反射：

  \(y = f(-x)\)

  效果：所有 x 座標乘以 \(-1\)。圖形水平翻轉。

第三部分：微積分簡介：微分 (Differentiation)

微積分是關於變化的數學。它讓我們能夠計算事物在任何特定時刻變化的速度。

曲線的斜率 (Gradient)

處理直線時，斜率是恆定的。但對於曲線，斜率一直在變化。

曲線在某一點的斜率，定義為該點切線（tangent）的斜率。

• 切線是一條僅在單一點觸碰曲線的直線。
• 微分是我們用來求出曲線上一點斜率公式的數學過程。

我們使用標記 \(\frac{dy}{dx}\) 來表示微分後的函數（即斜率函數）。

關鍵術語： \(\frac{dy}{dx}\) 被稱為 \(y\) 對 \(x\) 的導數（derivative）。

微分的冪法則 (Power Rule)

對於 \(y = ax^n\) 形式的函數，微分非常直觀。這是此階段唯一需要的微分法則。

若 \(y = ax^n\)，則導數 \(\frac{dy}{dx}\) 為：

\[ \frac{dy}{dx} = n \cdot a \cdot x^{n-1} \]

逐步規則：

1. 相乘： 將指數降下來，乘以係數 (\(a\))。
2. 遞減： 將指數減 1 (\(n-1\))。

微分練習範例

範例 1： \(y = 4x^3\)

• 相乘：\(3 \times 4 = 12\)
• 指數遞減：\(3 - 1 = 2\)
• 結果：\(\frac{dy}{dx} = 12x^2\)

範例 2： \(y = 5x\)

• 記得這其實是 \(y = 5x^1\)。
• 相乘：\(1 \times 5 = 5\)
• 指數遞減：\(1 - 1 = 0\)，且 \(x^0 = 1\)。
• 結果：\(\frac{dy}{dx} = 5\)（直線的斜率永遠是 x 的係數！）

範例 3： \(y = 7\)（常數）

• 記得這其實是 \(y = 7x^0\)。
• 相乘：\(0 \times 7 = 0\)。
• 結果：\(\frac{dy}{dx} = 0\)（水平線斜率為零。）

和的規則： 如果函數有多項，則分別對每一項進行微分：

若 \(y = 2x^4 - 3x^2 + 6x - 1\)

\[ \frac{dy}{dx} = 8x^3 - 6x + 6 \]

前置技能檢查： 有時在微分前需要重組算式：

• 如果看到根號：\(\sqrt{x}\) 必須寫成 \(x^{\frac{1}{2}}\)。
• 如果看到分母有 \(x\)：\(\frac{1}{x^2}\) 必須寫成 \(x^{-2}\)。

微分的應用

1. 求特定點的斜率

如果你想求 \(y = x^2 - 3x\) 在 \(x = 5\) 處的斜率：

1. 求導數：\(\frac{dy}{dx} = 2x - 3\)
2. 將 \(x=5\) 代入導數中：

   斜率 = \(2(5) - 3 = 10 - 3 = 7\)

3. 當 \(x=5\) 時，曲線的斜率為 7。

2. 求駐點 (Stationary/Turning Points)

駐點（或稱轉向點）是曲線上的某個位置，該處斜率瞬間為零。這些點可能是最大值點（頂峰）或最小值點（谷底）。

在駐點處，條件永遠是：\(\frac{dy}{dx} = 0\)

求轉向點的步驟：

求 \(y = x^3 - 12x + 5\) 的駐點。

1. 微分：\(\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 12\)
2. 令導數等於零：\(3x^2 - 12 = 0\)
3. 解出 \(x\)：

   \(3x^2 = 12\)

   \(x^2 = 4\)

   \(x = 2\) 或 \(x = -2\)

4. 將這些 \(x\) 值代回原始方程式 (\(y\)) 求出對應的 \(y\) 座標：

   若 \(x=2\)：\(y = (2)^3 - 12(2) + 5 = 8 - 24 + 5 = -11\)。座標：\((2, -11)\)

   若 \(x=-2\)：\(y = (-2)^3 - 12(-2) + 5 = -8 + 24 + 5 = 21\)。座標：\((-2, 21)\)

駐點為 \((2, -11)\) 和 \((-2, 21)\)。

注意：判斷這是最大值還是最小值，通常需要檢查圖形的形狀（例如，正的三次函數 x³ 開始於低處，結束於高處）或是檢查駐點前後斜率的符號。