Algebra and graphs

👋 歡迎來到 FP1：代數與圖形！

你好！這一章是你建立數學基礎的關鍵，幫助你理解複雜的方程式如何轉化為圖形上優美且易於辨識的形狀。在進階數學（Further Maths）中，我們不僅僅滿足於基礎的二次方程和直線，更會探索那些具有迷人特性的函數與曲線，例如漸近線（Asymptotes）和焦點（Foci）。

如果有些公式看起來很嚇人，別擔心！ 我們將會拆解這些核心技巧：精確繪製圖形、找出極限（漸近線），以及在不依賴微積分的情況下定位那些棘手的最大值和最小值點。

準備好將代數轉化為幾何了嗎？讓我們開始吧！

1. 有理函數圖形 (Graphs of Rational Functions)

有理函數 (Rational Function) 本質上就是分子和分母皆為多項式的分數。在 FP1 中，我們主要關注三種形式：

1. $$y = \frac{ax+b}{cx+d}$$ (線性比線性)
2. $$y = \frac{ax+b}{cx^2+dx+e}$$ (線性比二次)
3. $$y = \frac{x^2+ax+b}{x^2+cx+d}$$ (二次比二次)

1.1 尋找漸近線 (Finding Asymptotes)

漸近線是圖形無限接近但永遠不會觸碰（有時會穿過，但當 \(x \to \infty\) 或 \(y \to \infty\) 時總會趨近）的虛擬線。它們對於繪圖至關重要。

A. 垂直漸近線 (Vertical Asymptotes, VA)

這類漸近線出現在函數無定義的地方，也就是分母等於零的地方。

步驟：

1. 令分母等於零。
2. 求解 \(x\)。
3. 如果 \(x\) 的解是實數，這些解就是垂直漸近線的方程式。

範例： 對於 \(y = \frac{x+5}{x-3}\)，垂直漸近線為 \(x-3=0\)，即 \(x=3\)。

B. 水平漸近線 (Horizontal Asymptotes, HA)

這些線描述了當 \(x\) 變得非常大（趨向 \(\pm\infty\)）時，圖形的行為。要找到水平漸近線，請觀察分子 ($N$) 和分母 ($D$) 多項式的次數 (Degree，即最高次方)。

想像成一場比賽：

• 情況 1：次數 N = 次數 D (兩者勢均力敵)
  水平漸近線為 \(y = \frac{\text{分子最高次項係數}}{\text{分母最高次項係數}}\)。
  範例： 對於 \(y = \frac{2x^2+1}{5x^2-3x}\)，水平漸近線為 \(y = \frac{2}{5}\)。 (這適用於當次數相等時的形式 1 和 3)。
• 情況 2：次數 N < 次數 D (分母成長得快得多)
  函數值趨近於零。水平漸近線為 \(y = 0\) (即 \(x\)-軸)。 (這適用於形式 2)。

C. 非軸向漸近線 (斜漸近線 Oblique/Slant Asymptotes)

小知識： 如果分子的次數恰好比分母大一（例如 \(\frac{x^2}{x}\)），你會得到一條既非水平也非垂直的斜線漸近線。雖然這個概念在有理函數中很重要，但課程大綱特別指出，在 FP1.1 中你所遇到的函數，其漸近線皆會平行於坐標軸。因此，你只需要專注於水平和垂直漸近線即可！

1.2 交點與繪圖 (Intersections and Sketching)

為了準確地畫出圖形，你需要找出曲線與坐標軸或其他指定直線的交點。

1. Y-截距： 令 \(x=0\) 並求解 \(y\)。
2. X-截距 (根)： 令 \(y=0\)。由於 \(y = \frac{N(x)}{D(x)}\)，這只會發生在分子 \(N(x) = 0\) 時（前提是 \(D(x) \neq 0\)）。
3. 與直線 \(L\) 的交點： 如果直線為 \(y=mx+c\)，將函數設為等於該直線方程式並求解 \(x\)。

1.3 尋找極大值與極小值 (FP1 小技巧！)

對於函數 \(y = \frac{x^2+ax+b}{x^2+cx+d}\)，尋找駐點（極大值/極小值）通常需要用到微積分。然而，FP1 要求使用一種巧妙的二次方程理論。

此方法用於尋找 \(y\) 的值域 (Range)（即函數存在的邊界範圍）。

尋找 \(y\) (或 \(k\)) 值域的步驟：

先決條件： 記住二次方程 \(Ax^2 + Bx + C = 0\) 擁有實根的條件是其判別式 (Discriminant) \(\Delta = B^2 - 4AC \ge 0\)。

1. 令 \(y=k\) 並交叉相乘： $$\frac{x^2+ax+b}{x^2+cx+d} = k \implies x^2+ax+b = k(x^2+cx+d)$$
2. 整理成關於 \(x\) 的二次方程： $$x^2(1-k) + x(a-ck) + (b-dk) = 0$$
3. 應用實根條件： 由於圖形上的點 \((x, k)\) 要存在，\(x\) 必須是實數，因此關於 \(x\) 的二次方程必須有實根。 $$\Delta = (a-ck)^2 - 4(1-k)(b-dk) \ge 0$$
4. 解出關於 \(k\) 的不等式： 這會是一個關於 \(k\) 的二次不等式。解出它將得出 \(k\) (或 \(y\)) 可能存在的區間。這些區間的邊界就是函數的最大值與最小值。
5. 尋找坐標 (可選，但經常會考)： 要找到這些極值點的 \(x\)-坐標，將剛求出的 \(k\) 的邊界值代回步驟 2 中的二次方程。由於判別式在邊界處等於零，該二次方程會有重根 (repeated root) \(x = -\frac{B}{2A}\)。

鼓勵一下： 這個方法很巧妙！它將圖形上點的存在性（實數 \(x\)）與代數上的實數解條件（\(\Delta \ge 0\)）連結了起來。掌握了這一點，你就攻克了本章最難的部分。

1.4 解相關不等式 (Solving Associated Inequalities)

你可能會遇到需要解類似 \(\frac{x^2+ax+b}{x^2+cx+d} > 0\) 或 \(\frac{ax+b}{cx+d} \le m\) 的不等式。

務必避免的常見錯誤： 除非你確定分母為正，否則不要直接交叉相乘。這是很危險的，因為乘以負數會改變不等號的方向！

安全的方法 (圖形/關鍵值法)：

1. 整理不等式，使其中一側為零。 $$ \text{例如：} \frac{ax+b}{cx+d} \le m \implies \frac{ax+b}{cx+d} - m \le 0 $$ 然後合併分數： $$ \frac{(ax+b) - m(cx+d)}{cx+d} \le 0 $$
2. 找出關鍵值 (Critical Values)： 即讓表達式為零的 \(x\) 值（分子為 0）或無定義的 \(x\) 值（分母為 0）。
3. 繪圖或使用符號表： 將關鍵值標在數線上。測試這些關鍵值區間內表達式的正負號。
4. 結論： 選擇滿足原始不等式的區間。

有理函數重點總結： 專注於代數結構（多項式的次數）來尋找漸近線，並使用判別式技巧 (\(\Delta \ge 0\)) 來尋找最大值與最小值的界限。

2. 圓錐曲線：拋物線、橢圓與雙曲線 (Conic Sections)

圓錐曲線是平面切開雙錐體時所形成的曲線。這一節要求你繪製這些標準形式，並理解它們與直線的關係。

2.1 拋物線 (The Parabola)

開口向左右的拋物線標準方程式為：

$$y^2 = 4ax$$

• 繪圖： 若 \(a>0\)，開口向右；若 \(a<0\)，開口向左。它關於 \(x\)-軸對稱。
• 頂點： (0, 0)
• 對稱軸： \(y=0\) (即 \(x\)-軸)

2.2 橢圓 (The Ellipse)

橢圓就像是被拉長或壓扁的圓。其標準方程式為：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

• 繪圖： \(a\) 和 \(b\) 的值決定了半長軸和半短軸。
• X-截距： \((\pm a, 0)\)
• Y-截距： \((0, \pm b)\)

類比： 如果 \(a=b\)，它就變成了圓！橢圓被完美地包含在 \(x=\pm a\) 與 \(y=\pm b\) 所組成的矩形框中。

2.3 雙曲線 (The Hyperbola)

雙曲線有兩種主要的標準形式。

A. 標準雙曲線 (水平開口)

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$

• 繪圖： 曲線在 \((\pm a, 0)\) 處穿過 \(x\)-軸。它不會穿過 \(y\)-軸（如果令 \(x=0\)，\(y^2\) 會變成負數）。
• 漸近線： 這是繪圖的關鍵。它們由以下直線定義： $$y = \pm \frac{b}{a}x$$

B. 直角雙曲線 (Rectangular Hyperbola)

$$xy = c^2$$

若 \(c^2 > 0\)，曲線位於第一和第三象限（類似 \(y=1/x\)，但經過縮放）。

• 漸近線： 坐標軸本身！即 \(x=0\) 和 \(y=0\)。

2.4 解讀交點：判別式的重溫

當尋找圓錐曲線（如拋物線或雙曲線）與直線 \(y=mx+c\) 的交點時，你會將直線方程式代入圓錐曲線方程式，這會得出一個關於 \(x\) 的二次方程。

該二次方程的判別式 \(\Delta = B^2 - 4AC\) 具有明確的幾何意義：

• \(\Delta > 0\) (兩個不同的實根)： 直線與曲線交於兩個不同的點。
• \(\Delta = 0\) (重實根)： 直線是曲線的切線 (tangent)，只交於一個點。
• \(\Delta < 0\) (無實根)： 直線與曲線完全不相交。

2.5 圓錐曲線的變換

你必須了解對這些方程式進行單一變換的效果。記住，變換會影響坐標 \((x, y)\)，你需要將它們代入原始方程式中。

變換	對坐標的影響	方程式中的代換
向量 \(\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}\) 平移	\((x, y) \to (x+p, y+q)\)	將 \(x\) 替換為 \((x-p)\) 將 \(y\) 替換為 \((y-q)\)
平行於 x-軸，縮放因子 \(k\) 的拉伸	\((x, y) \to (kx, y)\)	將 \(x\) 替換為 \((x/k)\)
平行於 y-軸，縮放因子 \(k\) 的拉伸	\((x, y) \to (x, ky)\)	將 \(y\) 替換為 \((y/k)\)
關於 \(y=x\) 直線的反射	\((x, y) \to (y, x)\)	將方程式中的 \(x\) 和 \(y\) 互換。

範例： 如果橢圓 \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\) 透過向量 \(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) 平移，新方程式為 \(\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1\)。

圓錐曲線重點總結： 始終先找出 \(a\) 和 \(b\)。利用這些常數找出截距和漸近線（針對雙曲線）。判別式將代數上的交點求解直接連結到了曲線的幾何特性上。

總結與核心要點

FP1 「代數與圖形」這一章的核心在於將代數運算與圖形解釋結合。你的成功取決於這兩種非微積分的技巧：

1. 漸近線： 利用係數比值（水平）或分母為零（垂直）。
2. 值域/最大值/最小值： 將 \(y=k\) 重新整理為關於 \(x\) 的二次方程，利用判別式 \(\Delta \ge 0\)。
3. 交點： 針對圓錐曲線解讀 \(\Delta\)，以區分兩個交點、切線或無交點的情況。

保持練習這些核心技能，你會發現這些複雜的曲線其實是非常可預測的！