歡迎來到 FM1.3：一維碰撞！
你好！本章節將你所學的基礎力學（如力和運動）應用於物理學中最令人興奮的現象之一：碰撞。無論是桌球相撞，還是黏土撞擊移動中的小車，要理解這些衝擊過程，我們需要強大的工具：動量 (Momentum) 和 恢復係數 (Coefficient of Restitution)。
如果力學有時讓你覺得很抽象，別擔心。碰撞在現實生活中非常實用，我們將逐步拆解這些處理突發、強大衝擊力的定律。讓我們開始吧！
1. 動量——運動的量度
在分析碰撞之前，我們需要知道什麼物理量在碰撞中是守恆的（保持不變）。這個量就是動量。
什麼是動量？
簡單來說，動量是一個物體運動狀態的量度，由物體的質量和速度計算得出。它告訴你讓一個運動中的物體停止有多困難。
- 定義： 動量 (\(p\)) 是質量 (\(m\)) 與速度 (\(v\)) 的乘積。
- 公式： \(p = mv\)
- 單位： \(\text{kg m s}^{-1}\) 或等效的 \(\text{N s}\)（牛頓秒）。
關鍵點： 動量是一個向量 (vector quantity)。這意味著方向與大小同樣重要。如果物體向右移動，其動量為正；如果向左移動，其動量則為負。你必須在每個問題開始時定義一個正方向！
重點總結：
動量等於質量乘以速度，因為速度是向量，所以動量也是！
2. 衝量——碰撞的力
碰撞是一個極短促的過程，巨大的力作用於物體，使其速度發生劇烈變化。用來衡量這種變化的概念稱為衝量 (Impulse)。
衝量作為動量的變化
衝量 (\(I\)) 定義為力在一段時間內的總效應，它在數值上等於物體動量的變化量。
- 公式（動量變化）：
\(I = mv - mu\)
其中 \(m\) 是質量，\(u\) 是初速度，\(v\) 是末速度。
類比： 想像接住一顆網球。衝量就是球傳遞給你手掌的總「衝擊力」。如果你接住的是一顆很重的球或速度很快的球，衝量就更大。
衝量等於力乘以時間
牛頓第二定律 (\(F = ma\)) 幫助我們將衝量與碰撞中的力和時間聯繫起來。
- 公式（恆力）：
\(I = Ft\)
你知道嗎？ 這個關聯解釋了為什麼汽車的安全設施（如安全氣囊和潰縮區）有效。它們延長了碰撞發生的時間 (\(t\))，從而減少了產生必要衝量 (\(I\)) 所需的平均力 (\(F\))，進而將傷害降至最低。
變力的衝量（進階筆記）
有時碰撞過程中的力並不是恆定的。在這種情況下，我們使用積分來計算衝量：
- 公式（變力）：
\(I = \int F dt\)
如果這對你來說有點難，別擔心。在許多 FM1 的題目中，你可以假設力是恆定的，或者直接使用動量變化的公式。
重點總結：
衝量是導致動量變化的「推力」(\(I = \Delta p\))，單位是 \(\text{N s}\)。
3. 黃金法則：動量守恆定律 (CoM)
碰撞力學中最核心的概念是：在兩物體碰撞的過程中，動量永遠守恆，前提是該方向上沒有受到外力（如摩擦力）影響。
原理
在任何涉及 \(M_1\) 和 \(M_2\) 物體的碰撞（或爆炸）中：
碰撞前的總動量 = 碰撞後的總動量
應用公式
設 \(m_1\) 和 \(m_2\) 為質量，\(u_1\) 和 \(u_2\) 為初速度，\(v_1\) 和 \(v_2\) 為末速度（皆在同一維度上）。
動量守恆方程式：
\[m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2\]
使用 CoM 的步驟：
- 選擇方向： 定義一個方向（例如向右）為正。
- 代入初速度： 如果 \(u_1\) 為正（向右移動），而 \(u_2\) 為負（向左移動），你必須在方程式中帶入負號。
- 代入末速度： 通常 \(v_1\) 和 \(v_2\) 是未知數。假設它們都是正值，如果你計算出的結果為負，這僅表示該物體在碰撞後向相反方向（向左）移動。
避免常見錯誤：
別忘了靜止的物體仍然有質量！如果一個物體最初是靜止的，其速度 \(u\) 為零，所以它的初動量為零。不要直接刪掉這一項；請寫成 \(m_2(0)\) 以表明你已經考慮過它了。
快速回顧：CoM
CoM 為你提供了關於四個速度的一個方程式。由於你通常有兩個未知數 (\(v_1, v_2\))，你需要第二個方程式！
4. 彈性係數：恢復係數 (e)
單憑動量守恆方程式無法解出兩個未知速度。我們需要知道碰撞的「彈性」程度，這由恢復係數 (Coefficient of Restitution, \(e\)) 來測量。
牛頓實驗定律
該定律描述了兩物體碰撞*前*的相對速度與碰撞*後*的相對速度之間的關係。
\[v_1 - v_2 = -e(u_1 - u_2)\]
這個方程式可以簡單理解為：
\[\text{分離速度} = e \times \text{接近速度}\]
記憶小技巧： 記住縮寫 COR（恢復係數），它能為你提供碰撞問題所需的第二個方程式。
解讀 \(e\) 的值
恢復係數 \(e\) 是一個介於 0 到 1 之間的數：\(0 \leq e \leq 1\)。
- \(e = 1\)：完全彈性碰撞 (Perfectly Elastic Collision)
- 動能守恆（沒有能量轉化為熱能或聲能）。
- 例子： 極硬且有彈性的球體之間的理想碰撞。
- \(e = 0\)：完全非彈性碰撞 (Perfectly Inelastic Collision，黏合碰撞)
- 動能損失達到最大。
- 物體在碰撞後黏在一起，這意味著它們具有相同的末速度：\(v_1 = v_2\)。
- 例子： 兩團軟黏土碰撞。
- \(0 < e < 1\)：非彈性碰撞 (Inelastic Collision)
- 這是現實世界中最常見的情況。
- 部分動能損失（通常轉化為熱能或聲能）。
- \(e\) 越接近 1，碰撞越有彈性。
單物體反彈
當物體撞擊固定的表面（如牆壁或地板）時，我們將該表面視為第二個物體 \(m_2\)，其初速度和末速度均為零 (\(u_2 = 0, v_2 = 0\))。
如果一個球以速度 \(u\) 接近地板，並以速度 \(v\) 反彈，COR 方程式簡化為：
\[(v) - (0) = -e((-u) - (0)) \implies v = eu\]
（注意：你必須確保 \(u\) 和 \(v\) 是根據你選擇的正方向一致定義的。通常我們只使用大小：反彈後的速率 = \(e \times\) 反彈前的速率。）
重點總結：
恢復係數 \(e\) 提供了求解碰撞問題所需的第二個聯立方程式。
5. 碰撞問題解題策略（檢查清單）
一維碰撞問題幾乎總需要你解兩個由基本定律導出的聯立方程式。
解題步驟
- 建立圖表與方向：
- 畫出簡單的示意圖，標示初期的質量和速度 (\(m_1, u_1, m_2, u_2\))。
- 關鍵： 清晰說明你選擇的正方向（例如「正方向為向右」）。
- 應用動量守恆 (CoM)：
- 寫下 CoM 方程式，確保所有與正方向相反的已知速度都以負數形式表示。
- （方程式 1：\(\sum mu_{\text{initial}} = \sum mv_{\text{final}}\)）
- 應用恢復係數 (COR)：
- 寫下牛頓實驗定律：\(v_1 - v_2 = -e(u_1 - u_2)\)。
- 代入 \(e, u_1,\) 和 \(u_2\) 的已知數值。
- （方程式 2：關聯 \(v_1\) 和 \(v_2\)）
- 聯立求解：
- 使用代入法或消去法解出方程式 1 和 2，得出未知的末速度 \(v_1\) 和 \(v_2\)。
- 解讀結果：
- 如果計算出的速度為正，物體向定義的正方向移動。
- 如果計算出的速度為負，物體向定義的正方向的反方向移動。
處理題目中的衝量
有時，題目可能會要求你求出作用在其中一個碰撞物體上的衝量。
若要求作用在物體 1 上的衝量，請使用公式：
\[I_1 = m_1 v_1 - m_1 u_1\]
記住，根據牛頓第三定律（作用力與反作用力），作用在物體 2 上的衝量大小相等但方向相反：\(I_2 = -I_1\)。
多練習這些步驟。一旦你掌握了定義方向並處理聯立方程式，你會發現碰撞問題其實很容易解決！