簡介：超越一維空間
歡迎來到進階力學 1 (Further Mechanics 1)！在標準數學課程中，你主要處理的是直線運動（一維）。現在，我們要升級了。在本章中，我們將探討物體在平面上自由運動的情況——例如在海上航行的船隻，或是在空中飛行的飛機。這需要運用向量 (vectors) 來描述位置、速度和位移。
如果以前覺得向量很棘手，不用擔心；我們會一步步拆解，讓你明白向量如何讓二維力學變得更清晰、更容易掌握！
第一節：用向量表示位置與速度
位置、位移、速率與速度
在二維空間中，我們總是需要兩個資訊來定位物體或描述其運動：
- 位置 (Position, \( \mathbf{r} \))：這是粒子相對於固定原點 \( O \) 的位置。由於我們在二維空間（平面）中，這個向量由 \( O \) 指向粒子。
- 位移 (Displacement, \( \mathbf{s} \))：這是位置的變化。如果粒子從位置 \( \mathbf{r}_1 \) 移動到 \( \mathbf{r}_2 \)，則位移為 \( \mathbf{s} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 \)。位移是一個向量。
- 速度 (Velocity, \( \mathbf{v} \))：這是位置隨時間的變化率，包含大小和方向。速度是一個向量。
- 速率 (Speed)：這是速度向量的大小（量值）。速率是一個純量（它只有大小，沒有方向）。
向量標記法
在進階力學中，所有位置和速度都使用單位向量 (unit vectors) \( \mathbf{i} \) 和 \( \mathbf{j} \)，或以行向量 (column vectors) 表示。
假設一個粒子位於原點的東方 3 單位（\( \mathbf{i} \) 方向）和北方 4 單位（\( \mathbf{j} \) 方向）：
$$ \text{位置 } \mathbf{r} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} \quad \text{或} \quad \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
如果其速度為 \( \mathbf{v} = 2\mathbf{i} - 1\mathbf{j} \)，這意味著：
- 它正以 \( 2 \text{ m/s} \) 的速度向正 \( \mathbf{i} \)（水平）方向移動。
- 它正以 \( 1 \text{ m/s} \) 的速度向負 \( \mathbf{j} \)（垂直）方向移動。
求速率：速率是速度向量的大小。我們使用畢氏定理！
如果 \( \mathbf{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} \)，則： $$ \text{速率} = |\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2} $$ 例：如果 \( \mathbf{v} = 2\mathbf{i} - 1\mathbf{j} \)，其速率為 \( |\mathbf{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5} \text{ m/s} \)。
重點總結：向量至關重要
在二維空間中，始終將位置、位移和速度視為向量。速率則是速度向量的純量大小。
第二節：等速度運動
本章僅聚焦於速度恆定 (constant) 的情況。這是一個極大的簡化！這意味著粒子以恆定速率沿直線運動，且至關重要的是，其加速度為零。
基本方程式
你已經熟悉一維力學中的關係：位移 = 速度 × 時間。以向量形式表示，這甚至更強大：
如果一個粒子從位置 \( \mathbf{r}_0 \)（初始位置向量）開始，並以恆定速度 \( \mathbf{v} \) 移動，則其在時間 \( t \) 後的位移為 \( \mathbf{v} t \)。
求隨時間變化的位置
粒子在時間 \( t \) 的位置向量 \( \mathbf{r} \) 為：
$$ \mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v} t $$
這個方程式在本主題中會不斷用到。它能讓你精確地知道粒子在任何時間點的位置。
步驟範例：尋找位置
- 找出初始位置向量 \( \mathbf{r}_0 \)。（這是 \( t=0 \) 時的位置）。
- 找出恆定速度向量 \( \mathbf{v} \)。
- 代入方程式 \( \mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v} t \)。
- 將 \( \mathbf{i} \) 分量合併，並將 \( \mathbf{j} \) 分量合併。
例：一個粒子從 \( \mathbf{r}_0 = 5\mathbf{i} - 3\mathbf{j} \) 開始，以 \( \mathbf{v} = -2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} \text{ m/s} \) 移動。
時間 \( t \) 時的位置：
$$
\mathbf{r} = (5\mathbf{i} - 3\mathbf{j}) + (-2\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) t
$$
$$
\mathbf{r} = (5 - 2t)\mathbf{i} + (-3 + 4t)\mathbf{j}
$$
位置被拆分為兩個獨立的分量：\( x = 5 - 2t \) 和 \( y = -3 + 4t \)。這就是為什麼二維運動如此簡單——水平和垂直運動互不干擾！
避免常見錯誤！
永遠記得初始位置 \( \mathbf{r}_0 \)。學生經常忘記加上這個向量，只計算到位移 \( \mathbf{v} t \)，而非最終位置 \( \mathbf{r} \)。
重點總結：核心公式
對於等速度運動，請務必背熟並掌握：\( \mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v} t \)。
第三節：涉及合成速度的問題
有時，物體的速度會受到周圍介質的影響。典型的例子是船在水流中移動，或是飛機在風中飛行。
合成速度 (resultant velocity) 是物體相對於地面（或固定點）而言，實際且可觀測到的速度。
組合速度（向量加法）
如果物體 \( A \) 相對於介質 \( M \)（例如水/空氣）的速度為 \( \mathbf{v}_{A M} \)，且介質 \( M \) 相對於地面 \( G \) 的速度為 \( \mathbf{v}_{M G} \)，則合成速度 \( \mathbf{v}_{A G} \) 為向量和：
$$ \mathbf{v}_{A G} = \mathbf{v}_{A M} + \mathbf{v}_{M G} $$
類比：想像在移動的扶手電梯上行走。你的行走速度（相對於電梯）與電梯的速度（相對於地面）相結合，就得到了你的總速度。
解決問題：分量法與向量三角形法
你可以使用兩種主要方法來解決合成速度問題：
- 分量法 (Component Method，處理複雜問題時推薦)：
- 將所有已知速度分解為 \( \mathbf{i} \)（水平）和 \( \mathbf{j} \)（垂直）分量。
- 將 \( \mathbf{i} \) 分量相加。
- 將 \( \mathbf{j} \) 分量相加。
- 所得向量 \( \mathbf{v} = (\sum \mathbf{i})\mathbf{i} + (\sum \mathbf{j})\mathbf{j} \) 即為合成速度。
- 向量三角形法 (Vector Triangle Method，適合簡單的方向/速率問題)：
如果你已知量值和方向（角度），你可以繪製一個向量三角形（首尾相連法），並使用正弦法則或餘弦法則來求出合成向量的大小和方向。
你知道嗎？
向量分解 (vector resolution) 的概念其實就是三角學！如果速度 \( V \) 與正 x 軸成角 \( \theta \)，則分量為 \( V \cos \theta \cdot \mathbf{i} \) 和 \( V \sin \theta \cdot \mathbf{j} \)。
重點總結：加法是關鍵
合成速度始終是物體速度與介質速度的向量和。
第四節：相對速度
這就是力學變得真正有趣的地方。相對速度 (relative velocity) 是指一名隨另一個物體移動的觀察者，所看到的物體速度。
定義與公式
令 \( A \) 和 \( B \) 為兩個粒子，相對於地面的速度分別為 \( \mathbf{v}_A \) 和 \( \mathbf{v}_B \)。
A 相對於 B 的速度（記為 \( \mathbf{v}_{A B} \)）是指如果你站在 \( B \) 上時，\( A \) *看起來*有的速度。
公式即為兩個速度向量之差：
$$ \mathbf{v}_{A B} = \mathbf{v}_A - \mathbf{v}_B $$
請注意順序：第一個下標 (A) 是被觀察的粒子，第二個下標 (B) 是觀察者。
分析相對運動
相對速度的概念之所以強大，是因為它將二維運動簡化為一維運動。如果你計算出 \( \mathbf{v}_{A B} \)，你就可以假裝觀察者 \( B \) 靜止在原點，而粒子 \( A \) 以速度 \( \mathbf{v}_{A B} \) 直接向他們移動或遠離。
相對位移 就像一般位置一樣，我們定義相對位置向量 \( \mathbf{r}_{A B} \)：
$$ \mathbf{r}_{A B} = \mathbf{r}_A - \mathbf{r}_B $$
此向量告訴你 \( A \) 相對於 \( B \) 的位置。如果 \( A \) 和 \( B \) 以恆定速度移動，相對位置會根據我們熟悉的等速度運動公式隨時間變化：
$$ \mathbf{r}_{A B}(t) = \mathbf{r}_{A B}(0) + \mathbf{v}_{A B} t $$
其中 \( \mathbf{r}_{A B}(0) \) 是初始分離向量（即 \( t=0 \) 時它們之間的距離）。
重點總結：減法規則
相對速度 \( \mathbf{v}_{A B} \) 永遠等於 \( \mathbf{v}_A - \mathbf{v}_B \)。這將複雜的二維運動簡化為一條相對運動直線。
第五節：相對運動的關鍵應用
相對速度對於解決兩類標準問題至關重要：攔截 (Interception) 和 最近距離 (Closest Approach)。
攔截（碰撞）
如果兩個物體 \( A \) 和 \( B \) 在同一時間 \( T \) 位於同一物理位置，它們就會攔截（或碰撞）。我們可以用兩種方式解決此問題：
- 使用絕對位置：
在時間 \( T \) 將它們的位置向量設為相等： $$ \mathbf{r}_A(T) = \mathbf{r}_B(T) $$ 由於 \( \mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v} t \)，我們將 \( \mathbf{i} \) 分量設為相等，\( \mathbf{j} \) 分量設為相等，從而得出兩個聯立方程式以求解 \( T \)。
- 使用相對速度（通常較快）：
若要發生攔截，在時間 \( T \) 時相對位移向量 \( \mathbf{r}_{A B} \) 必須為 \( \mathbf{0} \)。這意味著物體 \( A \)（從 \( B \) 的角度來看）必須準確地走完初始分離向量 \( \mathbf{r}_{A B}(0) \) 的距離。
如果題目問某個粒子必須朝什麼方向移動才能攔截另一個粒子，這種方法特別有用。
必要條件： \( \mathbf{v}_{A B} \) 必須平行於初始相對位置向量 \( \mathbf{r}_{B A}(0) \)（連接 B 到 A 的線）。
最近距離
當兩個粒子正在運動但不會碰撞時，我們通常需要找出它們之間的最近距離。這發生在它們的相對速度向量與相對位移向量垂直 (perpendicular) 時。
我們完全使用相對位移向量來處理： $$ \mathbf{r}_{rel} = \mathbf{r}_A - \mathbf{r}_B = \mathbf{R} $$ （其中 \( \mathbf{R} \) 是時間 \( t \) 的函數）。
方法 1：微積分（最小化距離平方）
這通常是最穩健的數學方法。由於最小距離 \( |\mathbf{R}| \) 發生的時間 \( t \) 與 \( |\mathbf{R}|^2 \) 的最小值發生的時間相同，我們使用距離的平方來運算，以避開平方根。
步驟：
- 找出相對位置向量：\( \mathbf{R} = (a+ct)\mathbf{i} + (b+dt)\mathbf{j} \)。
- 計算距離的平方：\( D^2 = |\mathbf{R}|^2 = (a+ct)^2 + (b+dt)^2 \)。
- 對 \( t \) 微分 \( D^2 \)：\( \frac{d(D^2)}{dt} \)。
- 令 \( \frac{d(D^2)}{dt} = 0 \) 並求解發生最近距離的時間 \( t \)。
- 將此 \( t \) 值代回 \( |\mathbf{R}| \) 以找到最小距離。
方法 2：幾何法 / 配方法
如果你喜歡代數勝過微積分，通常可以對 \( D^2 \) 的表達式使用配方法 (completing the square)。這有助於在不進行微分的情況下找到最小值。
或者，幾何法 (Geometric Approach) 利用了這樣一個概念：最近距離是從觀察者 \( B \) 的初始位置到 \( A \) 的運動直線（相對於 \( B \)）的垂直距離。
幾何法的步驟：
- 計算 \( \mathbf{v}_{A B} \)。這定義了相對運動的路徑。
- 計算初始相對位置 \( \mathbf{r}_{A B}(0) \)。
- 最短距離是從原點（假設 \( B \) 靜止處）到穿過 \( \mathbf{r}_{A B}(0) \) 且平行於 \( \mathbf{v}_{A B} \) 的直線之間的垂直距離。
註：這通常涉及找出 \( \mathbf{v}_{A B} \) 與 \( \mathbf{r}_{A B}(0) \) 之間的夾角，並使用基本的三角學 (SOH CAH TOA)。
快速複習：相對運動清單
1. 定義向量： 找出 \( \mathbf{r}_A, \mathbf{v}_A, \mathbf{r}_B, \mathbf{v}_B \)。
2. 計算相對速度： \( \mathbf{v}_{A B} = \mathbf{v}_A - \mathbf{v}_B \)。
3. 計算相對位置： \( \mathbf{r}_{A B}(t) = (\mathbf{r}_A(0) - \mathbf{r}_B(0)) + \mathbf{v}_{A B} t \)。
4. 解決問題：
- 攔截： 令 \( \mathbf{r}_{A B}(T) = \mathbf{0} \)。
- 最近距離： 使用微積分或幾何法將 \( |\mathbf{r}_{A B}(t)|^2 \) 最小化。