💪 FP1.2 坐標幾何：尋找軌跡（遊戲規則）

歡迎來到坐標幾何的世界！在進階數學（Further Maths）中，我們不只是單純地繪製點和線，更要根據特定的幾何規則找出路徑（或圖形）的方程式。這條路徑就稱為軌跡（Locus）。


本章的重點在於如何將簡單的距離規則轉化為精確的笛卡兒方程式（即包含 \(x\) 和 \(y\) 的方程式）。如果起初覺得有些困難，不用擔心；我們只需要兩項核心技能：計算兩點之間的距離，以及點到鉛垂線或水平線的距離。

1. 理解軌跡的概念

什麼是軌跡？

軌跡（Locus）（複數：Loci）的意思非常簡單，它指的是滿足特定幾何條件的所有點的集合。你可以把它想像成根據嚴格規則繪製出的一條路徑。

  • 例子 1： 到單一固定點距離相等的點之軌跡是一個圓（Circle）。
  • 例子 2（本章重點）： 到一個固定點和一條固定直線距離相等的點之軌跡是一個拋物線（Parabola）。

重點提示： 我們正在尋找一個方程式（以 \(x\) 和 \(y\) 表示），用以描述所有遵守指定距離規則的點 \(P(x, y)\)。

2. 基本功：距離計算

要找出軌跡，你必須能夠精確地計算距離。假設我們移動中的點為 \(P(x, y)\)。

2.1 點 A 到軌跡點 P 的距離

如果你有一個固定點 \(A(x_1, y_1)\) 和一個移動點 \(P(x, y)\)，距離 \(PA\) 可以使用標準距離公式（即畢氏定理）求得：

$$PA = \sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2}$$

2.2 直線 L 到軌跡點 P 的距離

課程範圍限制我們只處理非常簡單的鉛垂線或水平線。這絕對是個好消息，因為距離計算非常直接！

點 \(P(x, y)\) 到直線的距離永遠是從點到直線作垂線的長度。由於距離必須是正數，我們使用絕對值（模數符號，\(| \dots |\)）。

情況 1：鉛垂線 (\(x = a\))

點 \(P(x, y)\) 到直線 \(x = a\) 的距離僅是 \(x\) 坐標之差：

$$PL = |x - a|$$

情況 2：水平線 (\(y = b\))

點 \(P(x, y)\) 到直線 \(y = b\) 的距離僅是 \(y\) 坐標之差：

$$PL = |y - b|$$

✔ 小測驗：絕對值

永遠記得距離必須為正。如果你的點 \(P\) 在 \(x=1\) 而直線在 \(x=5\)，距離即為 \(|1 - 5| = |-4| = 4\)。使用模數符號可確保即使點位於直線的「另一側」，我們得到的結果依然為正數。

3. 等距軌跡：點與簡單直線

本單元的核心任務是找出軌跡 \(P(x, y)\) 的方程式，滿足：

到點 A 的距離 = 到直線 L 的距離

為了消去距離公式中的平方根，我們總是直接將等式兩邊平方：

$$(\text{距離 } PA)^2 = (\text{距離 } PL)^2$$

3.1 逐步推導範例

讓我們找出與點 \(A(2, 3)\) 及直線 \(x = 4\) 等距離的所有點 \(P(x, y)\) 的笛卡兒方程式。

  1. 識別組件：
    • 固定點 \(A(x_1, y_1) = (2, 3)\)
    • 固定直線 \(L\): \(x = 4\)
    • 軌跡點 \(P(x, y)\)

  2. 建立距離方程式：
    • 距離 \(PA\): \(\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2}\)
    • 距離 \(PL\): \(|x - 4|\)

  3. 等式兩邊平方：

    $$(\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2})^2 = (|x - 4|)^2$$

    注意： 將絕對值 \(|x-4|\) 平方後會得到 \((x-4)^2\)。

    $$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 4)^2$$


  4. 展開並簡化（見證奇蹟的時刻）：

    展開括號：

    $$(x^2 - 4x + 4) + (y - 3)^2 = (x^2 - 8x + 16)$$

    留意兩邊的 \(x^2\) 項相互抵消了。這是一個顯著的指標，說明該軌跡是一條拋物線（剩餘變數 \(y^2\) 與線性變數 \(x\) 之間的二次關係）。

    $$x^2 - 4x + 4 + (y - 3)^2 = x^2 - 8x + 16$$

    現在，將包含 \(y\) 的項獨立出來，並整理 \(x\) 和常數項：

    $$(y - 3)^2 = -8x + 16 - (-4x + 4)$$

    $$(y - 3)^2 = -8x + 16 + 4x - 4$$

    $$(y - 3)^2 = -4x + 12$$


  5. 最終方程式（笛卡兒形式）：

    軌跡的方程式為 \((y - 3)^2 = -4(x - 3)\)。這就是拋物線的方程式。

⚠ 常見錯誤警告！

千萬不要忘記將到直線的距離 \(PL\) 平方。雖然在平方時忘記模數符號通常不會影響結果，但在概念上，你必須始終確保在平方前處理的是正距離。

4. 拋物線的一般形式

當你解決涉及一個點（焦點，Focus）和一條直線（準線，Directrix）的軌跡問題時，結果永遠是一條拋物線。最終方程式的形式取決於準線是水平還是垂直的。

如果準線為 \(x=a\)（垂直），所得的拋物線形式為：
$$\mathbf{(y - k)^2 = 4c(x - h)}$$
如果準線為 \(y=b\)（水平），所得的拋物線形式為：
$$\mathbf{(x - h)^2 = 4c(y - k)}$$

你知道嗎？ 在我們的例子中，所得方程式 \((y - 3)^2 = -4(x - 3)\) 符合標準形式 \((y - k)^2 = 4c(x - h)\)。這意味著拋物線的頂點在 \((3, 3)\)，由於 \(4c = -4\)（即 \(c = -1\)），拋物線向左開口，遠離準線 \(x=4\)。幾何關係完全吻合！

5. 總結與重點

👍 軌跡速查表 (FP1.2)

我們的目標是根據以下規則找出 \(P(x, y)\) 的笛卡兒方程式：

1. 規則： 距離 \(PA\) = 距離 \(PL\)。

2. 方法： 立即將兩邊平方：\((PA)^2 = (PL)^2\)。

3. 公式：

  • \((PA)^2 = (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2\)
  • \((PL)^2 = (x - a)^2\) (若直線為 \(x=a\))
  • \((PL)^2 = (y - b)^2\) (若直線為 \(y=b\))

4. 結果： 展開、簡化並確保方程式排列整齊，通常會消去一個變數的二次項，從而顯現拋物線的特徵。

坐標幾何的核心就是將代數工具應用於幾何問題。只要掌握了距離公式以及到直線距離的簡單計算，你就能輕鬆應對 FP1 中的所有軌跡問題！