棣美弗定理：解鎖複數的強大威力
歡迎來到進階數學（Further Mathematics）中最優雅且強大的定理之一！棣美弗定理（De Moivre's Theorem，通常簡稱為 D.M.T.）是連接複數（極座標形式）與三角函數（如正弦和餘弦）的重要橋樑。
在本章中，你將學習如何運用此定理將複數提升至任何整數冪次、輕鬆求根，並推導複雜的三角恆等式，這對於解決高難度的積分問題至關重要。
為什麼這很重要？ 在學習 D.M.T. 之前，計算 \( (3 + 4i)^{10} \) 簡直是一場噩夢，你需要將括號乘開十次。而 D.M.T. 將其簡化為一個簡單的乘法問題！
1. 基礎：極座標形式先備知識
棣美弗定理僅在複數 \( z \) 寫成極座標形式（polar form）時才能直接應用，即 \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \)。
請回顧以下概念：
- 模（Modulus, \( r \)）： 在阿爾岡圖（Argand diagram）上從原點出發的距離。\( r = |z| \)。
- 輻角（Argument, \( \theta \)）： 從正實軸逆時針測量的角度（以弧度為單位）。\( \theta = \arg(z) \)。
記憶小撇步： 有時 \(\cos \theta + i \sin \theta\) 會縮寫為 \(\text{cis}\,\theta\)。雖然在正式作答時不建議使用 \(\text{cis}\,\theta\)，但它是記住結構的好方法！
核心定理（整數 \(n\) 的棣美弗定理）
若 \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \) 且 \( n \) 為整數（正或負），則：
$$ z^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)) $$
這代表什麼意思？
- 要將 \( z \) 提升至 \( n \) 次方，只需將模 \( r \) 提升至 \( n \) 次方。
- 只需將輻角 \( \theta \) 乘以 \( n \)。
類比： 將複數想像成一個有長度（\( r \)）和方向（\( \theta \)）的向量。將其提升至 \( n \) 次方，就像是將向量的長度縮放 \( n \) 次（就面積/體積而言），並將其旋轉 \( n \) 倍的幅度。
快速回顧：重點總結
D.M.T. 將計算複數冪次這種困難的過程，轉化為計算角度乘法這種簡單的過程。
2. 在三角學與積分中的應用
D.M.T. 最重要的應用之一是推導三角恆等式，特別是涉及三角函數冪次（如 \(\cos^5 \theta\)）和多倍角公式（如 \(\cos 4\theta\)）的問題。
建立 \(z\) 的冪次與三角函數的聯繫
考慮模 \( r=1 \) 的複數 \( z \)，即 \( z = \cos \theta + i \sin \theta \)。
根據 D.M.T.，其倒數 \( \frac{1}{z} \)（即 \( z^{-1} \)）為：
$$ \frac{1}{z} = \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) = \cos \theta - i \sin \theta $$
將這兩個表達式相加和相減，即可得到本節的核心恆等式：
$$ z + \frac{1}{z} = (\cos \theta + i \sin \theta) + (\cos \theta - i \sin \theta) = 2 \cos \theta $$
$$ z - \frac{1}{z} = (\cos \theta + i \sin \theta) - (\cos \theta - i \sin \theta) = 2i \sin \theta $$
更普遍地，再次使用 D.M.T. 可得：
$$ z^n + \frac{1}{z^n} = 2 \cos(n\theta) $$
$$ z^n - \frac{1}{z^n} = 2i \sin(n\theta) $$
A. 將 \(\cos \theta\) 和 \(\sin \theta\) 的冪次表達為多倍角
此技巧對於計算被積函數為三角函數高次冪的積分至關重要，例如 \( \int \cos^4 \theta \, d\theta \)。
\(\cos^n \theta\) 的逐步過程
- 從恆等式開始： \( 2 \cos \theta = z + \frac{1}{z} \)。
- 兩邊同時提升至 \( n \) 次方： \( (2 \cos \theta)^n = \left(z + \frac{1}{z}\right)^n \)。
- 使用二項式定理（Binomial Theorem）展開右側。
- 將共軛項分組： \( \left(z^k + \frac{1}{z^k}\right) \)。
- 使用 D.M.T. 恆等式代回： \( z^k + \frac{1}{z^k} = 2 \cos(k\theta) \)。
- 分離出 \(\cos^n \theta\)。
積分範例： 如果你需要積分 \(\cos^4 \theta\)，你將推導出以下公式：
$$ \cos^4 \theta = \frac{1}{8}(\cos 4\theta + 4 \cos 2\theta + 3) $$
現在積分右側就變得非常簡單了！
避免常見錯誤： 處理 \(\sin^n \theta\) 時，請記住因子 \( i \)！你需要使用 \( (2i \sin \theta)^n = \left(z - \frac{1}{z}\right)^n \)。必須正確處理 \( i \) 的冪次（週期性為 \( i, -1, -i, 1 \)）。
B. 以 \(\tan \theta\) 表達多倍角函數
課程要求你能將如 \(\tan 5\theta\) 等函數表達為 \(\tan \theta\) 的冪次形式。
1. 首先使用兩種方法找出 \(\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)\) 的表達式：
- 方法 1（D.M.T.）： \( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) = (\cos \theta + i \sin \theta)^n \)。
- 方法 2（二項式定理）： 展開 \( (\cos \theta + i \sin \theta)^n \)。
2. 將展開後的二項式表達式與 D.M.T. 的結果相等。比較實部可得 \(\cos n\theta\)，比較虛部可得 \(\sin n\theta\)。
3. 要找到 \(\tan n\theta\)，請使用恆等式： \( \tan n\theta = \frac{\sin n\theta}{\cos n\theta} \)。
4. 將分子和分母同時除以 \(\cos \theta\) 的最高次冪（即 \(\cos^n \theta\)），將所有項轉化為 \(\tan \theta\) 的冪次。
你知道嗎？ 這些多倍角公式（特別是 \(\cos n\theta\)）與切比雪夫多項式（Chebyshev Polynomials）密切相關，顯示了複數如何與高等代數相連！
快速回顧：重點總結
恆等式 \( 2 \cos \theta = z + \frac{1}{z} \) 和 \( 2i \sin \theta = z - \frac{1}{z} \) 是處理微積分中三角表達式的基本工具。
3. 求複數的 \(n\) 次方根
棣美弗定理同樣適用於解 \( z^n = w \) 形式的方程式，其中 \( w = a + ib \) 為一個複數。
其過程是找出 \( w^{1/n} \)。
對多重輻角的需求
求根時，我們必須考慮到複數的輻角具有週期性。由於旋轉 \( 2\pi \) 會回到相同位置，因此 \( w \) 可以寫成：
$$ w = r(\cos(\theta + 2k\pi) + i \sin(\theta + 2k\pi)) $$
其中 \( k \) 為任意整數。
如果我們應用 D.M.T. 來尋找 \( n \) 次根（即 \( 1/n \) 次方），我們得到根 \( z_k \) 的通式：
$$ z_k = r^{1/n} \left(\cos \left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\right) $$
求解 \( z^n = a + ib \)
求根步驟
- 將 \( w = a + ib \) 轉換為極座標形式： 求出模 \( r \) 和主輻角 \( \theta \)（其中 \( -\pi < \theta \le \pi \)）。
- 應用通式： 寫下包含 \( 2k\pi \) 的求根公式。
- 找出 \( n \) 個不同的根： 使用整數值 \( k = 0, 1, 2, \dots, n-1 \)。這 \( n \) 個值將為你提供 \( n \) 個不同的根。（一旦 \( k=n \)，角度就會開始重複）。
- 以要求的形式表達： 題目可能會要求以笛卡兒形式 (\( x + iy \)) 或根式形式（若角度與精確三角值相關）作答。
單位根（Roots of Unity）
最簡單也最優美的情況是尋找 \( z^n = 1 \) 的解，這些就是單位根（roots of unity）。
由於 \( 1 = 1(\cos 0 + i \sin 0) \)，其根為：
$$ z_k = 1^{1/n} \left(\cos \left(\frac{2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right) $$
對於 \( k = 0, 1, \dots, n-1 \)。
幾何解釋： 這些根在阿爾岡圖的單位圓上等距排列，形成一個正 \( n \) 邊形的頂點。其中一個頂點一定在 \( (1, 0) \)（當 \( k=0 \) 時）。
快速回顧：重點總結
求 \( n \) 次根時，記得在輻角中加入週期性 \( (+ 2k\pi) \)。透過改變 \( k \)，必須找出剛好 \( n \) 個不同的根。
4. 歐拉公式與指數形式
雖然 D.M.T. 功能強大，但終極的簡化來自於將極座標形式與指數函數聯繫起來。你應當在無需證明的基礎上熟悉並使用此恆等式。
歐拉公式
$$ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta $$
這是模為 1 的複數的指數形式（exponential form）。若模為 \( r \)，該複數寫作：
$$ z = r e^{i\theta} $$
為什麼這種形式如此有用？
1. 它讓 D.M.T. 變得瑣碎： 若 \( z = r e^{i\theta} \)，則 \( z^n = (r e^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} \)。這能立即轉化回極座標形式的 D.M.T.： \( r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta) \)。
2. 乘法/除法： 複數相乘代表輻角相加，相除則代表輻角相減——就像指數律一樣！
$$ z_1 z_2 = (r_1 e^{i\theta_1}) (r_2 e^{i\theta_2}) = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)} $$
應用：涉及根式形式的計算
指數形式常用於處理需要操作非「標準」角度，但可由標準角度組成的精確值計算。課程大綱特別提到了如 \(\cos \frac{5\pi}{12}\) 之類的根式形式表達式。
求 \(\cos \frac{5\pi}{12}\) 的方法：
- 認出 \( \frac{5\pi}{12} \) 可以拆解為標準角度： \( \frac{5\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \)。
- 使用指數形式：計算 \( e^{i\pi/6} \cdot e^{i\pi/4} \)。
- 轉換為笛卡兒形式並相乘：
$$ e^{i\pi/6} e^{i\pi/4} = \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right) \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) $$
$$ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i\right) $$ - 展開並比較實部：乘積的實部必須等於 \( \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{5\pi}{12} \)。
如果一開始覺得很棘手也不用擔心，這只是一種運用複數框架來應用加法公式的系統化方法！
快速回顧：重點總結
歐拉公式 \( e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \) 是表達與計算複數冪次與乘積最簡潔的方式，使 D.M.T. 變成了簡單的指數運算。
5. 本章總結與公式回顧
棣美弗定理是 FP2 的基石。掌握它意味著掌握以下關鍵關係：
三大核心恆等式
- D.M.T.（整數 \( n \)）：
$$ (\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) $$ - 歐拉公式（指數形式）：
$$ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta $$ - 求根公式（\( z^n = w \) 的通解）：
$$ z_k = r^{1/n} e^{i(\frac{\theta + 2k\pi}{n})}, \quad k = 0, 1, \dots, n-1 $$
三角運算工具
這些恆等式對於將三角函數的冪次轉換為多倍角（用於積分）至關重要：
- $$ z^n + \frac{1}{z^n} = 2 \cos(n\theta) $$
- $$ z^n - \frac{1}{z^n} = 2i \sin(n\theta) $$
請持續練習在笛卡兒形式、極座標形式與指數形式之間進行轉換。這是解鎖棣美弗定理威力的關鍵！