微分方程 – 二階 (FP2.11)
你好，未來的數學家！歡迎來到二階微分方程（Differential Equations, DEs）的世界。別擔心，名字聽起來雖然很專業，但它們其實只是用來描述系統如何隨加速度變化的數學工具。這在物理現象建模中極其有用，例如振動、電路，甚至是經濟學領域。
在本章中，我們將學習如何在涉及 \(y\)、\(\frac{dy}{dx}\) 和 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) 的方程中，求出 \(y\) 的完整且精確的公式。
快速了解：為什麼叫「二階」？
微分方程的「階數」是由其中出現的最高階導數決定的。如果方程中包含 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)（即加速度），它就是二階的。這意味著我們在通解中需要兩個任意常數（通常為 \(A\) 和 \(B\)），就像在力學中，你需要初始位移和初始速度才能完整描述拋體的運動路徑一樣！
1. 線性二階微分方程的結構
我們主要探討常係數線性微分方程。這意味著導數項和 \(y\) 本身都只以一次方的形式出現，且乘以它們的係數（\(a, b, c\)）均為常數（根據課程大綱，具體為整數）。
兩大類型
根據等式右側的函數 \(f(x)\)，二階線性微分方程可分為兩類：
-
1. 齊次方程 (Homogeneous Equations)（或稱無強迫方程）
這是 \(f(x)=0\) 的「基本情況」。$$ a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0 $$
類比：這描述了系統的自然振盪，就像在真空中彈跳的彈簧（沒有外部作用力）。 -
2. 非齊次方程 (Non-Homogeneous Equations)（或稱強迫方程）
當 \(f(x)\) 是一個非零的 \(x\) 函數時。$$ a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x) $$
類比：這描述了當系統受到外部作用力（如引擎運轉或持續推力）時的情況。
重點總結： 求解非齊次方程需要兩個部分：齊次部分的解（稱為補餘函數 (Complementary Function, CF)）以及針對強迫項的額外解（稱為特解 (Particular Integral, PI)）。
2. 求解齊次方程：補餘函數 (CF)
齊次方程 \( a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0 \) 的解稱為補餘函數 (\(y_{CF}\))。
求解這些方程的秘訣在於輔助方程 (Auxiliary Equation, AE)。我們假設解的形式為 \(y = e^{\lambda x}\)，代入後，微分方程便會簡化為關於 \(\lambda\) 的二次方程：
輔助方程 (AE)
若 \( a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0 \)，則 AE 為：
$$ a\lambda^2 + b\lambda + c = 0 $$
CF 的形式完全取決於該二次方程根的性質。
情況 1：兩個相異實根 (\(\lambda_1 \neq \lambda_2\))
當判別式 \((b^2 - 4ac)\) 大於零時發生。
通解（CF）是兩個指數解的線性組合： $$ y_{CF} = Ae^{\lambda_1 x} + Be^{\lambda_2 x} $$
類比：這通常代表「過阻尼」運動，系統平滑地回到平衡狀態而不產生振盪。
情況 2：一個重實根 (\(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\))
當判別式 \((b^2 - 4ac)\) 等於零時發生。
通解（CF）必須包含額外的 \(x\) 因子，以確保兩項是獨立的： $$ y_{CF} = (A + Bx)e^{\lambda x} $$
常見錯誤警告：別忘了第二項的 \(x\) 因子！如果你寫成 \(Ae^{\lambda x} + Be^{\lambda x}\)，這會簡化為 \((A+B)e^{\lambda x}\)，這只有一個任意常數，而不是兩個。
情況 3：共軛複數根 (\(\lambda = \alpha \pm i\beta\))
當判別式 \((b^2 - 4ac)\) 小於零時發生。由於 \(a, b, c\) 為實數整數，根必然以共軛對的形式出現。
雖然原始指數解為 \(y = A'e^{(\alpha + i\beta)x} + B'e^{(\alpha - i\beta)x}\)，但通常使用歐拉恆等式 (\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)) 將其轉換為更簡潔的三角形式： $$ y_{CF} = e^{\alpha x} (A \cos(\beta x) + B \sin(\beta x)) $$
類比：這代表振盪運動。\(\alpha\) 決定了振盪是增加（\(\alpha > 0\)）、衰減（\(\alpha < 0\)，即阻尼）還是保持恆定（\(\alpha = 0\)，即簡諧運動）。
✅ 快速複習：CF 公式
設 \(\lambda_1, \lambda_2\) 為 \( a\lambda^2 + b\lambda + c = 0 \) 的根。
- 相異實根： \( y_{CF} = Ae^{\lambda_1 x} + Be^{\lambda_2 x} \)
- 重實根 (\(\lambda\))： \( y_{CF} = (A + Bx)e^{\lambda x} \)
- 複數根 (\(\alpha \pm i\beta\))： \( y_{CF} = e^{\alpha x} (A \cos(\beta x) + B \sin(\beta x)) \)
3. 求解非齊次方程：特解 (PI)
求解 \( a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x) \) 時，通解 (\(y_{GS}\)) 是補餘函數 (CF) 與特解 (PI) 的總和：
$$ y_{GS} = y_{CF} + y_{PI} $$
CF 處理自然行為（如第 2 節所述）。PI 則是代入原微分方程後滿足方程的任何函數。由於本課程大綱將 \(f(x)\) 限制為特定形式，找到 \(y_{PI}\) 的方法涉及「有根據的猜測」。
尋找 \(y_{PI}\) 的逐步指南
PI 必須與 \(f(x)\) 具有相同的通用形式。
步驟 1：根據 \(f(x)\) 猜測 \(y_{PI}\) 的形式。
| \( f(x) \) (強迫項) | \( y_{PI} \) 的猜測形式 | 最高次冪限制 |
|---|---|---|
| 多項式 (例如 \(x^3\)) | 同次數的通式多項式 (例如 \(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D\)) | 4 次 |
| 指數 (例如 \(e^{kx}\)) | \( Pe^{kx} \) | 不適用 |
| 三角 (例如 \(\sin(kx)\) 或 \(\cos(kx)\)) | \( P \cos(kx) + Q \sin(kx) \) (必須同時包含 sin 和 cos！) | 不適用 |
步驟 2：微分並代入。
將你的猜測 (\(y_{PI}\)) 微分兩次，得到 \(\frac{dy_{PI}}{dx}\) 和 \(\frac{d^2y_{PI}}{dx^2}\)。將這三項代入原本的非齊次微分方程。
步驟 3：比較係數。
比較等式兩邊 \(e^{kx}\)、\(\cos(kx)\)、\(\sin(kx)\) 或 \(x\) 的冪次的係數。這將給你一組聯立方程，用來求出 PI 猜測中的未知常數（如 \(A, B, P, Q\) 等）。
關鍵重疊規則（修正規則）
這是最容易出錯的地方！
如果你選擇的 \(y_{PI}\) 猜測（來自步驟 1）已經是補餘函數 (\(y_{CF}\)) 中的一項，那麼標準猜測將無效（代入齊次部分時它會變為零）。
如果出現重疊，你必須將你的標準猜測乘以 \(x\) 的最低冪次（通常是 \(x\) 或 \(x^2\)），直到它與 CF 項線性獨立為止。
例子：如果 \(f(x) = 5e^{3x}\)，你的標準猜測是 \(y_{PI} = Pe^{3x}\)。但如果你的 CF 是 \(y_{CF} = Ae^{3x} + Be^{-x}\)，則 PI 猜測與 \(Ae^{3x}\) 重疊。
此時修正後的 PI 猜測必須為： \( y_{PI} = Px e^{3x} \)。
你知道嗎？ 這種乘以 \(x\) 的步驟是必要的，因為強迫輸入頻率（來自 \(f(x)\)）與自然頻率（來自 CF）匹配，會導致一種稱為共振 (resonance) 的現象。系統的響應隨時間線性增長，因此出現了 \(x\) 項！
重點總結： 務必先求出 \(y_{CF}\)，然後再與 \(y_{PI}\) 的猜測形式比較。如果它們匹配，請將 \(y_{PI}\) 乘以 \(x\)。
4. 求特解（使用邊界條件）
當你得到通解 \(y_{GS} = y_{CF} + y_{PI}\) 後，它仍然包含兩個來自 CF 的任意常數 \(A\) 和 \(B\)。要找到唯一的特解，你需要額外的兩個資訊，即邊界條件或初始條件。
這些條件通常指定了 \(y\) 或 \(\frac{dy}{dx}\) 在某個特定點 \(x\)（通常在 \(x=0\)）的值。
特解求解步驟
- 求 \(y_{GS}\)： 計算 \(y_{CF}\) 和 \(y_{PI}\) 並合併：\(y = y_{CF} + y_{PI}\)。
- 微分 \(y_{GS}\)： 計算 \(\frac{dy}{dx}\)。（如果條件涉及導數，你需要用到它）。
- 應用條件 1： 將第一個邊界條件（例如 \(y(0)=5\)）代入 \(y_{GS}\)。這會產生一個連結 \(A\) 和 \(B\) 的方程。
- 應用條件 2： 將第二個邊界條件（例如 \(y'(0)=1\)）代入導數 \(\frac{dy}{dx}\)。這會產生第二個連結 \(A\) 和 \(B\) 的方程。
- 求解： 解這兩個聯立方程，求出 \(A\) 和 \(B\)。
- 最終答案： 將 \(A\) 和 \(B\) 的值代回 \(y_{GS}\)，寫出最終的特解。
給學生的建議：求導時務必檢查代數計算！此處的錯誤必然會導致 \(A\) 和 \(B\) 的值出錯。請耐心檢查，尤其是在處理複雜的 CF 或 PI 項時，小心使用乘積法則。
📝 最終重點總結
1. 識別微分方程類型：齊次（\(=0\)）或非齊次（\(=f(x)\)）。
2. 通解結構為： \( y_{GS} = y_{CF} + y_{PI} \)。
3. CF（補餘函數）： 使用輔助方程 \( a\lambda^2 + b\lambda + c = 0 \) 求得。其形式取決於根是相異實根、重實根還是複數根。
4. PI（特解）： 猜測與 \(f(x)\) 相似的形式求得。關鍵點：務必檢查與 CF 是否重疊，若有重疊需乘以 \(x\)。
5. 特解： 使用給定的兩個邊界條件來找出常數 \(A\) 和 \(B\) 的特定值。