Finite series

✨ 有限級數：綜合學習筆記 (FP2 Pure Maths) ✨

歡迎來到有限級數 (Finite Series) 章節！如果希臘字母 Sigma (\(\Sigma\)) 看起來讓你感到畏懼，請別擔心——本章旨在讓你掌握巧妙的捷徑，快速計算遵循特定規律的長數列總和。

你已經學過如何計算算術級數 (APs) 和幾何級數 (GPs) 的總和。本章將利用強大的代數技巧，將這些知識擴展到更複雜的數列模式中。

你將學到什麼？ 你將掌握冪級數和的標準公式，最重要的是，你將學會神奇的差分法 (Method of Differences)（亦稱為伸縮求和法，Telescoping Sums），用以處理幾乎所有有限級數的問題。

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1. 基礎基石：自然數總和

在進階數學 (Further Maths) 中，你需要能夠極速計算前 \(n\) 個自然數、前 \(n\) 個平方數以及前 \(n\) 個立方數的總和。這些是你的基本出發點（FP1.5 內容）。

1.1 前 \(n\) 個整數的總和 (\(\sum r\))

這是最簡單的總和，即計算 \(1 + 2 + 3 + \dots + n\)。

• 標記法為：\(\sum_{r=1}^{n} r\)
• 公式為：\(\sum_{r=1}^{n} r = \frac{1}{2} n (n+1)\)

（你知道嗎？這個公式通常歸功於年輕時的高斯！）

1.2 前 \(n\) 個平方數的總和 (\(\sum r^2\))

這是平方數的總和：\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2\)。

• 標記法為：\(\sum_{r=1}^{n} r^2\)
• 公式為：\(\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1)\)

1.3 前 \(n\) 個立方數的總和 (\(\sum r^3\))

這是立方數的總和：\(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3\)。

• 標記法為：\(\sum_{r=1}^{n} r^3\)
• 公式為：\(\sum_{r=1}^{n} r^3 = \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2 = \left( \sum_{r=1}^{n} r \right)^2\)

2. 複合級數求和

你遇到的多數級數不會僅僅是純粹的 \(\sum r\) 或 \(\sum r^2\)，它們通常是多項式表達式，例如：\(\sum_{r=1}^{n} (r^2 - 3r + 1)\)。

2.1 求和規則（線性性質）

求和運算符 (\(\Sigma\)) 的美妙之處在於它是線性的。這意味著你可以將複雜的級數拆解成更簡單的部分：

1. 你可以跨加法或減法拆分級數：

\(\sum (u_r + v_r) = \sum u_r + \sum v_r\)

2. 你可以將常數乘數移到求和符號外：

\(\sum c \cdot u_r = c \sum u_r\)

3. 常數 \(c\) 的總和僅是 \(n\) 倍的常數（假設求和範圍從 \(r=1\) 到 \(n\)）：

\(\sum_{r=1}^{n} c = nc\)

2.2 多項式級數的分步解題過程

例子： 求多項式表達式 \(S_n = \sum_{r=1}^{n} (r^2 - 3r + 1)\)。

1. 拆分級數：

   \(S_n = \sum r^2 - 3\sum r + \sum 1\)

2. 應用公式： 代入標準結果。

   \(S_n = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) - 3 \left[ \frac{1}{2} n (n+1) \right] + n\)

3. 因式分解並簡化： 這是關鍵步驟。尋找最大公因數。在此例中為 \(\frac{1}{6}n\)。

   $$S_n = \frac{n}{6} [ (n+1)(2n+1) - 9(n+1) + 6 ]$$

   簡化括號內的表達式，即可得出以 \(n\) 為變量的最終簡潔多項式。

重點提示： 在代入公式之前，請務必先將表達式處理成標準的 \(\sum r^k\) 形式。在完全因式分解並簡化 \(S_n\) 的最終多項式之前，千萬不要停下來。

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3. 差分法（伸縮求和法）

當項 \(u_r\) 是積的形式或有理函數（分數）時，標準公式便無法使用。這時就需要用到差分法 (Method of Differences) (FP1.5 & FP2.5) 來解決。這類技巧在考試中十分常見。

3.1 概念：伸縮鏡的比喻

想像一個級數，當你寫出每一項時，幾乎所有中間項都會互相抵消。這就是伸縮求和 (Telescoping Sum)。試想一個舊式手持伸縮望遠鏡——當你將它收起時，中間的部分會縮回重疊，最後只剩下兩端。

目標： 將通項 \(u_r\) 表達為兩個連續函數的差：

$$u_r = f(r) - f(r+1) \quad \text{ 或 } \quad u_r = f(r+1) - f(r)$$

當你對這個級數求和 \(S_n\) 時，所有的中間項都會抵消：

\(S_n = \sum_{r=1}^{n} (f(r) - f(r+1))\)

\(S_n = [f(1) - f(2)] + [f(2) - f(3)] + [f(3) - f(4)] + \dots + [f(n) - f(n+1)]\)

所有內項（如 \(-f(2) + f(2)\)）都會消去，只剩下第一項的前半部分和最後一項的後半部分：

$$S_n = f(1) - f(n+1)$$

3.2 技巧 1：使用部分分式（針對有理函數）

此方法對於諸如 \(\frac{1}{r(r+1)}\) 或 \(\frac{2}{(2r-1)(2r+1)}\) 之類的有理表達式（分數）至關重要。

步驟 1：使用部分分式展開 \(u_r\)。

例子： 求級數 \(S_n = \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{r(r+1)}\) 的和。

我們將通項 \(u_r\) 分解：

$$\frac{1}{r(r+1)} \equiv \frac{A}{r} + \frac{B}{r+1}$$

透過代入法或代數運算，可得出 \(A=1\) 且 \(B=-1\)。

$$u_r = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1}$$

留意 \(u_r\) 現在已變成所需的差分形式 \(f(r) - f(r+1)\)，其中 \(f(r) = \frac{1}{r}\)。

步驟 2：寫出部分和 (\(S_n\)) 並觀察抵消過程。

代入 \(r\) 從 1 到 \(n\) 的數值：

• \(r=1\): \(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\)
• \(r=2\): \(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\)
• \(r=3\): \(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\)
• \(\dots\)
• \(r=n\): \(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\)

當你相加時，這些項會對角線抵消：

$$S_n = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$$

步驟 3：陳述部分和 (\(S_n\)) 的結果。

剩下的只有第一個括號的前半部分和最後一個括號的後半部分：

$$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$$

3.3 技巧 2：使用乘積（針對階乘與多項式）

有時，表達式 \(u_r\) 涉及階乘或乘積，可以巧妙地改寫為差分形式。這對於涉及 \(r!\) 的級數通常是必要的（FP1.5 例子：\(\sum r \cdot r!\)）。

例子： 求級數 \(S_n = \sum_{r=1}^{n} r \cdot r!\) 的和。

步驟 1：將 \(u_r\) 表達為差分形式。

我們知道 \((r+1)! = (r+1) \times r!\)。

我們想重寫 \(r \cdot r!\)，可以使用恆等式：

$$r \cdot r! = (r+1 - 1) r!$$

$$r \cdot r! = (r+1)r! - 1 \cdot r!$$

$$r \cdot r! = (r+1)! - r!$$

我們成功地將 \(u_r\) 表達為 \(f(r+1) - f(r)\) 的形式，其中 \(f(r) = r!\)。

步驟 2：應用伸縮求和。

總和變成：

• \(r=1\): \(2! - 1!\)
• \(r=2\): \(3! - 2!\)
• \(r=3\): \(4! - 3!\)
• \(\dots\)
• \(r=n\): \((n+1)! - n!\)

抵消過程發生：\((2!-2!) + (3!-3!) + \dots\)

步驟 3：陳述結果。

$$S_n = (n+1)! - 1!$$

$$S_n = (n+1)! - 1$$

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4. 擴展至無窮級數

有時，我們會被要求計算一個無限延伸的級數總和——即無窮級數 (Infinite Series) (FP1.5 內容)。

4.1 部分和與收斂性

無窮級數 \(\sum_{r=1}^{\infty} u_r\) 的和，定義為當 \(n\) 趨向無窮大時，部分和 (\(S_n\)) 的極限：

$$\sum_{r=1}^{\infty} u_r = \lim_{n \to \infty} S_n$$

只有當該極限存在時，級數才有有限的總和。如果極限存在，該級數稱為收斂 (converge)；如果極限不存在（例如趨向無窮大），該級數則發散 (diverge)。

4.2 計算無窮總和

要計算使用差分法求解的級數的無窮總和，你必須將你推導出的 \(S_n\) 表達式應用極限。

例子： 求 3.2 節中級數 \(\sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{r(r+1)}\) 的無窮總和。

步驟 1：使用部分和 \(S_n\)。

我們已經求得部分和：

$$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$$

步驟 2：求 \(n \to \infty\) 時的極限。

$$\sum_{r=1}^{\infty} u_r = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)$$

當 \(n\) 變得非常大時，項 \(\frac{1}{n+1}\) 趨向於零：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$$

步驟 3：陳述無窮總和。

$$\sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{r(r+1)} = 1 - 0 = 1$$

該級數收斂至 1。

發散例子（非考試範圍，但概念有用）：

如果你嘗試求平方和（1.2 節）的無窮總和，\(S_n\) 的結果是一個關於 \(n\) 的三次多項式。當 \(n \to \infty\) 時，該三次式趨向 \(\infty\)。因此，自然數數列和平方數數列是發散的。