Further Mathematics (9665) 學習筆記：FP2.9 雙曲函數 (Hyperbolic Functions)

哈囉！歡迎來到雙曲函數這迷人的世界。別擔心，雖然雙曲函數看起來跟三角函數（\(\sin, \cos, \tan\)）長得很像，但它們其實是透過奇妙的指數函數 \(e^x\) 來定義的。這章節是高等微積分與幾何的核心，讓我們一起深入探索吧！

你將學到什麼？ 你將會學習與 \(\sinh x\) 和 \(\cosh x\) 相關的定義、基本恆等式、圖像、導數以及積分技巧，並學會如何解涉及這些函數的方程式。

第一部分：定義雙曲函數（基礎積木）

雙曲函數本質上是 \(e^x\) 和 \(e^{-x}\) 的組合。之所以被稱為「雙曲 (hyperbolic)」，是因為它們與單位雙曲線 \(x^2 - y^2 = 1\) 的關係，就如同三角函數與單位圓 \(x^2 + y^2 = 1\) 的關係一樣。

1.1 核心定義

兩個最基本的雙曲函數是雙曲正弦 (\(\sinh x\)) 和雙曲餘弦 (\(\cosh x\))。

  • 雙曲餘弦 (cosh)： 指數的偶函數組合。
    $$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$
  • 雙曲正弦 (sinh)： 指數的奇函數組合。
    $$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$

記憶小撇步： 看看 \(\cosh x\) 的「h」，想像它是一個橫放的加號 (+)，這能幫你記住它的定義涉及加法。

1.2 次要雙曲函數

就像三角函數一樣，我們也有倒數與比值函數：

  • 雙曲正切 (tanh)： $$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$
  • 雙曲正割 (sech)： $$\mathrm{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$$
  • 雙曲餘割 (cosech)： $$\mathrm{cosech} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac{2}{e^x - e^{-x}}$$
  • 雙曲餘切 (coth)： $$\coth x = \frac{1}{\tanh x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$$

核心重點： 所有雙曲函數在根本上都是用指數形式定義的。如果不確定該怎麼辦，就把它們轉換回 \(e^x\) 和 \(e^{-x}\) 吧！

第二部分：基本雙曲恆等式

雙曲函數之間的關係與三角函數非常相似，但要特別注意符號上的關鍵差異！

2.1 主要恆等式（需證明）

這相當於 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)，是雙曲函數的基本恆等式，但中間是減號：

恆等式 1： $$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$$

證明： 這是考試常考的證明，讓我們一步步來：

  1. 從左式 (LHS) 開始：\(\cosh^2 x - \sinh^2 x\)
  2. 代入指數定義： $$LHS = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2$$
  3. 展開平方（記得 \((e^x)^2 = e^{2x}\) 且 \(e^x e^{-x} = e^0 = 1\)）： $$LHS = \frac{1}{4} (e^{2x} + 2(1) + e^{-2x}) - \frac{1}{4} (e^{2x} - 2(1) + e^{-2x})$$
  4. 提出 \(1/4\)： $$LHS = \frac{1}{4} [ (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x}) ]$$
  5. 化簡括號內的項（注意 \(e^{2x}\) 和 \(e^{-2x}\) 會互相抵銷）： $$LHS = \frac{1}{4} [ 2 - (-2) ] = \frac{1}{4} [ 4 ] = 1$$ 證畢：\(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\)。
2.2 次要恆等式

我們可以透過將主要恆等式兩邊同時除以 \(\cosh^2 x\) 或 \(\sinh^2 x\) 來導出這些恆等式：

除以 \(\cosh^2 x\)： $$\frac{\cosh^2 x}{\cosh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x}$$ $$\mathbf{1 - \tanh^2 x = \mathrm{sech}^2 x}$$

除以 \(\sinh^2 x\)： $$\frac{\cosh^2 x}{\sinh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\sinh^2 x} = \frac{1}{\sinh^2 x}$$ $$\mathbf{\coth^2 x - 1 = \mathrm{cosech}^2 x}$$

2.3 加法公式（需熟悉使用與證明）

你必須熟悉如何利用指數定義來證明諸如 \(\sinh(x+y)\) 這類的恆等式。

  • $$\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$$
  • $$\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$$

（注意：對於 \(\cosh(x+y)\)，加號會保留，這與三角函數中 \(\cos(A+B)\) 會變為減號不同）。

快速複習箱：必須熟記的恆等式

$$ \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 $$ $$ 1 - \tanh^2 x = \mathrm{sech}^2 x $$ $$ \coth^2 x - 1 = \mathrm{cosech}^2 x $$

核心重點： 基本恆等式是 \(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\)。千萬要記住那個減號！

第三部分：雙曲函數的圖像

理解這些圖像的形狀對於定義域、值域以及求反函數至關重要。

3.1 y = \(\sinh x\) 的圖像
  • 形狀： 看起來像拉長的立方函數，通過原點 (0, 0)。
  • 對稱性： 它是奇函數：\(\sinh(-x) = -\sinh x\)。
  • 定義域： \(x \in \mathbb{R}\)（所有實數）。
  • 值域： \(y \in \mathbb{R}\)（所有實數）。
3.2 y = \(\cosh x\) 的圖像
  • 形狀： 這條曲線稱為懸鏈線 (catenary)。它是完全柔軟的鏈條或纜繩懸掛在兩點之間時所呈現的形狀。
  • 對稱性： 它是偶函數：\(\cosh(-x) = \cosh x\)。
  • 最小值點： (0, 1)。
  • 定義域： \(x \in \mathbb{R}\)。
  • 值域： \(y \ge 1\)。（在定義反函數時，這個限制非常關鍵！）

你知道嗎？ 美國聖路易斯的「拱門」(Gateway Arch) 就是設計成倒懸鏈線的形狀！

3.3 y = \(\tanh x\) 的圖像
  • 形狀： 單調遞增（永遠在增加）。
  • 漸近線： 當 \(x \to \infty\)，\(e^{-x} \to 0\)，因此 \(\tanh x \to \frac{e^x}{e^x} = 1\)。當 \(x \to -\infty\)，\(e^x \to 0\)，因此 \(\tanh x \to \frac{-e^{-x}}{e^{-x}} = -1\)。
  • 值域： \(-1 < y < 1\)。

核心重點： \(\cosh x\) 有值域限制 (\(y \ge 1\))，這會影響其反函數。 \(\tanh x\) 的值則永遠在 -1 和 1 之間。

第四部分：反雙曲函數（對數形式）

由於雙曲函數是由指數構成的，它們的反函數總是可以表示為對數形式。這些對數形式會列在公式手冊中，但你可能需要證明它們。

4.1 反雙曲正弦：\(\mathrm{arsinh} x\) 或 \(\sinh^{-1} x\)

對數形式： $$\sinh^{-1} x = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1}), \quad x \in \mathbb{R}$$

\(\sinh^{-1} x\) 的逐步證明：

  1. 從 \(y = \sinh^{-1} x\) 開始，這意味著 \(x = \sinh y\)。
  2. 代入指數定義： $$x = \frac{e^y - e^{-y}}{2}$$
  3. 整理並消去分母，兩邊同乘 \(2e^y\) 以消除 \(e^{-y}\)： $$2x e^y = e^{2y} - e^0$$ $$2x e^y = e^{2y} - 1$$
  4. 將其整理成 \(e^y\) 的一元二次方程式： $$(e^y)^2 - 2x(e^y) - 1 = 0$$
  5. 利用二次公式解 \(e^y\)： $$e^y = \frac{-(-2x) \pm \sqrt{(-2x)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$$ $$e^y = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 + 4}}{2} = \frac{2x \pm 2\sqrt{x^2 + 1}}{2}$$ $$e^y = x \pm \sqrt{x^2 + 1}$$
  6. 由於 \(e^y\) 必須為正數，我們必須取正根（因為 \(x + \sqrt{x^2+1}\) 永遠為正），所以： $$e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$$
  7. 兩邊取自然對數 (ln)： $$y = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1})$$ （證畢！）
4.2 反雙曲餘弦：\(\mathrm{arcosh} x\) 或 \(\cosh^{-1} x\)

由於 \(\cosh x\) 的值域有限制 (\(y \ge 1\))，其反函數的定義域也必須有限制。

對數形式： $$\cosh^{-1} x = \ln (x + \sqrt{x^2 - 1}), \quad x \ge 1$$

備註： 證明過程與 \(\sinh^{-1} x\) 的二次方程法相同，最後會得到 \(\sqrt{x^2 - 1}\) 這項。這就是為什麼定義域必須為 \(x \ge 1\) 的原因。

4.3 反雙曲正切：\(\mathrm{artanh} x\) 或 \(\tanh^{-1} x\)

對數形式： $$\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right), \quad -1 < x < 1$$

核心重點： 反雙曲函數的證明都涉及將函數轉換為指數形式，並解出 \(e^y\) 的二次方程式。

第五部分：雙曲函數的微積分

雙曲函數的一個優點是它們的導數非常整潔！我們必須知道這些微分結果的證明，並將其應用於積分中。

5.1 微分（需證明）

微分的證明直接依賴於指數定義。

  • \(\sinh x\) 的導數： $$\frac{d}{dx}(\sinh x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$$ $$\mathbf{\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x}$$
  • \(\cosh x\) 的導數： $$\frac{d}{dx}(\cosh x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) = \frac{e^x + (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x$$ $$\mathbf{\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x}$$
  • \(\tanh x\) 的導數： $$\mathbf{\frac{d}{dx}(\tanh x) = \mathrm{sech}^2 x}$$

類比/記憶小撇步： 與標準三角函數對比：

三角函數雙曲函數
\(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)\(\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x\)
\(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\) (注意有負號！)\(\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x\) (沒有負號！)

鼓勵一下： 雙曲微分中負號較少，這通常讓計算更容易處理！

5.2 反雙曲函數的微分

反函數的微分結果會列在公式手冊中，請經常練習使用：

  • $$\mathbf{\frac{d}{dx}(\sinh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}}$$
  • $$\mathbf{\frac{d}{dx}(\cosh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}}$$
  • $$\mathbf{\frac{d}{dx}(\tanh^{-1} x) = \frac{1}{1 - x^2}}$$
5.3 積分應用

涉及雙曲函數的積分通常依賴於辨識該積分是某個反函數的導數。你必須能夠使用與這些反函數相關的標準積分：

標準積分：

  • $$\mathbf{\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \sinh^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C}$$
  • $$\mathbf{\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \cosh^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C}$$
  • $$\mathbf{\int \frac{1}{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{a} \tanh^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C} \quad (\text{適用於 } |x| < |a|)$$

常見錯誤： 千萬別搞混 \(\sqrt{a^2 - x^2}\) 的積分公式（那是 \(\sin^{-1}\)）與 \(\sqrt{x^2 - a^2}\)（這是 \(\cosh^{-1}\)）。注意 \(x^2\) 和 \(a^2\) 的順序是關鍵！

核心重點： \(\cosh x\) 微分後得到正的 \(\sinh x\)。積分往往會導向反函數的對數形式。

第六部分：解 \(a \sinh x + b \cosh x = c\) 類型的方程式

當解一個同時包含 \(\sinh x\) 和 \(\cosh x\) 的方程式時，最可靠的方法是回歸它們的指數定義。這會將問題轉換為關於 \(e^x\) 的一元二次方程式。

逐步解法

假設你需要解 \(2 \sinh x + 3 \cosh x = 4\)。

  1. 代入定義： 取代 \(\sinh x\) 和 \(\cosh x\)： $$2 \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) + 3 \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) = 4$$
  2. 消去分母： 整個方程式乘以 2： $$2(e^x - e^{-x}) + 3(e^x + e^{-x}) = 8$$
  3. 展開並合併 \(e^x\) 和 \(e^{-x}\) 項： $$(2e^x - 2e^{-x}) + (3e^x + 3e^{-x}) = 8$$ $$5e^x + e^{-x} = 8$$
  4. 形成關於 \(e^x\) 的二次方程式： 整個方程式乘以 \(e^x\)。因為 \(e^x \cdot e^{-x} = 1\)，我們得到： $$5(e^x)^2 + 1 = 8e^x$$ 整理成標準二次方程式形式（設 \(u = e^x\)）： $$\mathbf{5u^2 - 8u + 1 = 0}$$
  5. 解二次方程式： 使用二次公式找出 \(u\) 的值： $$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(5)(1)}}{10} = \frac{8 \pm \sqrt{44}}{10} = \frac{8 \pm 2\sqrt{11}}{10}$$ $$u = \frac{4 \pm \sqrt{11}}{5}$$
  6. 解出 \(x\)： 記住 \(u = e^x\)。由於 \(e^x\) 必須為正，而這裡兩個解皆為正（因為 \(\sqrt{11} \approx 3.3\)），所以兩個解都有效： $$x = \ln \left(\frac{4 + \sqrt{11}}{5}\right) \quad \text{與} \quad x = \ln \left(\frac{4 - \sqrt{11}}{5}\right)$$

重要提醒： 如果二次方程式求出的 \(u\) 值為負，必須捨去該根，因為 \(e^x\) 不可能為負！

核心重點： 要解混合雙曲方程式，請務必轉換為指數形式，建立關於 \(e^x\) 的二次方程式，最後使用對數求出答案。