Roots and coefficients of a quadratic equation Content Additional information

FP1.4：二次方程的根與係數

歡迎來到進階數學（Further Mathematics）中最強大且充滿成就感的課題之一！本章將帶你揭開二次方程的數字（係數）與其解（根）之間的直接關係，讓你無需解出方程本身，就能掌握根的特性。

這項技能對於解決 FP1 的問題至關重要。我們將學習如何處理涉及根的複雜表達式，並利用這些運算結果來構建全新的二次方程。

1. 核心連結：根的和與積

每一個形式為 \(ax^2 + bx + c = 0\)（其中 \(a \neq 0\)）的二次方程都有兩個根。在進階數學中，我們習慣將這些根稱為 \(\alpha\) (alpha) 和 \(\beta\) (beta)。

關鍵公式

若 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的根，則根與係數之間的關係為：

• 根的和： \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)
• 根的積： \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\)

記憶小撇步： 試著記住「S.A.P.」（Sum, a, minus b）和「P.C.A.」（Product, c, a）。請緊記，計算根的和時，第二個係數（\(b\)）必須變號。

學習重點： 在處理任何「根與係數」的問題時，第一步請務必先寫下 \(\alpha + \beta\) 和 \(\alpha\beta\) 的值。

2. 對稱表達式的變換

本章的核心能力在於將涉及 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的複雜表達式（例如 \(\alpha^2 + \beta^2\) 或 \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\)），改寫成僅包含「根的和」與「根的積」這兩個基本組件的式子。這些被稱為對稱表達式 (symmetric expressions)，因為調換 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的位置，表達式的值並不會改變。

步驟推導

我們利用代數恆等式來完成這些變換。

A. 平方和：\(\alpha^2 + \beta^2\)

我們知道和的平方展開式：\((\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2\)。
我們需要 \(\alpha^2 + \beta^2\)，因此重新整理該恆等式：

\[ \mathbf{\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta} \]

比喻： 把 \(\alpha + \beta\) 看作一個包裹 (S)，把 \(\alpha\beta\) 看作另一個包裹 (P)。你現在只需要這兩個標準包裹，就能搭建出複雜的結構。

B. 涉及倒數（分數）的表達式

要變換像 \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\) 這樣的表達式，我們首先要通分：

\[ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta}{\alpha\beta} + \frac{\alpha}{\alpha\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} \]

現在它已經完全以「和」與「積」來表達，計算起來就非常容易了。

C. 立方和：\(\alpha^3 + \beta^3\)（常見且具挑戰性的例子）

立方和的關鍵恆等式為：

\[ (\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3 \]

將中間的項分組：

\[ (\alpha + \beta)^3 = (\alpha^3 + \beta^3) + 3\alpha\beta(\alpha + \beta) \]

重新整理以求出 \(\alpha^3 + \beta^3\)（這是課程大綱的要求）：

\[ \mathbf{\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)} \]

學習重點： 任何涉及 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的對稱表達式，都可以純粹寫成 \((\alpha + \beta)\) 和 \((\alpha\beta)\) 的組合。務必先變換複雜的表達式，最後再代入數值。

3. 構建新的二次方程

你經常會被要求找出一個新的二次方程，其根與原方程的根相關（例如，若原方程的根為 \(\alpha, \beta\)，新根可能是 \(\alpha^2, \beta^2\) 或 \(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\)）。

反向工程流程

一個一般的二次方程，若其根為 \(\gamma\) 和 \(\delta\)，總是可以寫成：

\[ x^2 - (\gamma + \delta)x + (\gamma\delta) = 0 \]

因此，要找到新的方程，你只需要兩樣東西：

1. 新根之和 (\(\gamma + \delta\))。
2. 新根之積 (\(\gamma\delta\))。

分步範例：根為 \(\alpha^2\) 和 \(\beta^2\)

假設原方程為 \(x^2 - 4x + 3 = 0\)。(在此，\(\alpha + \beta = 4\) 且 \(\alpha\beta = 3\))。我們想要建立一個新方程，其根為 \(\gamma = \alpha^2\) 和 \(\delta = \beta^2\)。

第 1 步：計算新根之和
新根之和 \( = \gamma + \delta = \alpha^2 + \beta^2 \)
利用第 2 部分的恆等式：

\[ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (4)^2 - 2(3) = 16 - 6 = 10 \]

第 2 步：計算新根之積
新根之積 \( = \gamma\delta = \alpha^2\beta^2 \)
由於 \(\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2\)：

\[ \alpha^2\beta^2 = (3)^2 = 9 \]

第 3 步：形成新方程
使用模板 \(x^2 - (\text{新根之和})x + (\text{新根之積}) = 0\)：

\[ \mathbf{x^2 - 10x + 9 = 0} \]

課程大綱範例練習

課程大綱特別要求練習形成根如 \(\alpha^2, \beta^2\)、\(\alpha^3, \beta^3\)、\(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\) 以及組合分數形式如 \(\frac{2}{\beta} + \frac{2}{\alpha}\) 的方程。請記住，所有這些根都必須先簡化為 \((\alpha + \beta)\) 和 \((\alpha\beta)\) 的組合。

範例：根為 \(\frac{1}{\alpha}\) 和 \(\frac{1}{\beta}\)

• 新根之和： \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\)（即原方程的和與積之比）
• 新根之積： \(\frac{1}{\alpha} \times \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta}\)（即原方程積的倒數）

如果剛開始覺得有點複雜也不用擔心；多加練習後，這些變換就會變成你的本能！

4. 關鍵恆等式總結

請將這些基本代數恆等式放在手邊，它們是你解決 FP1 根問題的利器：

設 \(S = \alpha + \beta\) 且 \(P = \alpha\beta\)：

• \(\alpha^2 + \beta^2 = S^2 - 2P\)
• \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{S}{P}\)
• \(\alpha^3 + \beta^3 = S^3 - 3PS\)
• \(\alpha - \beta\)（或 \(\beta - \alpha\)）通常使用此恆等式求出：\((\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = S^2 - 4P\)

你知道嗎？ 你現在學習的這些特性，其實是「韋達定理 (Vieta's Formulas)」的最簡單情況，該定理提供了任何次數的多項式（立方、四次等）的根與係數之間的關係。在 FP1 中，我們專注於二次方程即可！