歡迎來到「根與多項式」的世界！
你好，歡迎來到進階數學（Further Mathematics）中最強大且優雅的課題之一：多項式方程式的根（解）與其係數（\(x\) 項前的數字）之間的聯繫。
在本章中，我們將會提升你在 FP1 中學到的技巧（針對二次方程），並將其擴展到三次、四次，甚至更高次的多項式！這是一項非常實用的「偵探技能」，讓你無需解開複雜的多項式方程式，就能直接找出根與根之間的關係。讓我們開始吧！
第一部分：重溫基礎（二次方程）
如果你需要快速複習一下也沒關係！所有高次多項式都遵循簡單二次方程式所建立的基本規律。
一般二次方程式
一般二次方程式的寫法如下：
$$\(ax^2 + bx + c = 0\)$$
若根為 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，且已知 $a \neq 0$，則存在兩項基本關係：
- 根之和： $$\(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)$$
- 根之積： $$\(\alpha \beta = \frac{c}{a}\)$$
記憶小撇步：留意正負號是交替出現的，由負號開始：\(-b/a\)，然後是 \(+c/a\)。這個符號規律至關重要，適用於所有多項式。
運算表達式
題目常要求你求出涉及根的表達式之值，例如 \(\alpha^2 + \beta^2\) 或 \(\alpha^3 + \beta^3\)。你必須將這些表達式僅以基本的「根之和」與「根之積」來表示。
必須記住的關鍵恆等式：
- $$\(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta\)$$
-
$$\(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)\)$$
小貼士：專注於將每個 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 替換為 \(\alpha+\beta\) 或 \(\alpha\beta\) 這類組合。
重點回顧（二次方程）
關係式 \(\alpha + \beta = -b/a\) 與 \(\alpha \beta = c/a\) 是所有運算的基石。只要你能運用這兩個基石重寫任何表達式，你就能解決問題！
第二部分：擴展至更高次多項式（FP2 核心）
我們在二次方程中看到的優雅規律，可以完美地應用於三次、四次（甚至更高次）方程！這些通常被稱為根的初等對稱多項式（Elementary Symmetric Polynomials）。
2.1：三次方程式 (\(n=3\))
考慮一般實係數三次方程式：
$$\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)$$
設三個根分別為 \(\alpha\)、\(\beta\) 和 \(\gamma\)。
三項基本關係如下：
- 根之和（每次取一個）： \(\Sigma \alpha\) $$\(\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}\)$$
- 根兩兩相乘之和： \(\Sigma \alpha\beta\) $$\(\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = +\frac{c}{a}\)$$
- 根之積（每次取三個）： \(\Sigma \alpha\beta\gamma\) $$\(\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}\)$$
符號規律小技巧：
關係式的符號總是交替出現，且起始符號為負號：
$$
\begin{array}{c|c|c|c}
\text{項} & x^{n-1} & x^{n-2} & x^{n-3} \\
\hline
\text{係數} & b & c & d \\
\hline
\text{符號} & \mathbf{-} & \mathbf{+} & \mathbf{-}
\end{array}
$$
所使用的係數，始終是比前一步驟次方低一階的那一項。
2.2：四次方程式 (\(n=4\))
考慮根為 \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) 的一般四次方程式：
$$\(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\)$$
四項關係如下：
- 1 根之和： \(\Sigma \alpha\) $$\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = -\frac{b}{a}\)$$
- 2 根之和： \(\Sigma \alpha\beta\) $$\(\alpha\beta + \dots + \gamma\delta = +\frac{c}{a}\)$$
- 3 根之和： \(\Sigma \alpha\beta\gamma\) $$\(\alpha\beta\gamma + \alpha\beta\delta + \alpha\gamma\delta + \beta\gamma\delta = -\frac{d}{a}\)$$
- 4 根之積： \(\Sigma \alpha\beta\gamma\delta\) $$\(\alpha\beta\gamma\delta = +\frac{e}{a}\)$$
快速總結：廣義規則
對於 \(n\) 次多項式，每次取 \(k\) 個根的總和公式為：
$$\Sigma (\text{每次取 } k \text{ 個根}) = (-1)^k \frac{\text{項 } x^{n-k} \text{ 的係數}}{a}$$
別擔心，如果這個通用公式看起來很複雜！ 你只需要記住這個序列：\(k=1\) 是 \(-b/a\)，\(k=2\) 是 \(+c/a\)，\(k=3\) 是 \(-d/a\)，以此類推，符號永遠交替改變。
🚨 常見錯誤警示！ 🚨
務必確認多項式方程式等於零，且最高次方項 (\(x^n\)) 的係數為 \(a\)。如果方程式缺項（例如沒有 \(x^2\) 項），則該項的係數必須視為零代入公式！
例子： 若 \(x^3 + 5x + 7 = 0\)，則 \(b=0\)，因此 \(\Sigma \alpha = 0\)。
第三部分：複數根與共軛複數定理
這是 FP2 中的一個關鍵概念，特別是在處理三次和四次方程時，它能為你省下大量功夫！
定理內容
課程大綱指出，如果多項式方程式具有實係數，那麼任何非實數（複數）根必然成共軛對出現。
- 若 \(\alpha = p + iq\) 是一個根，則其共軛 \(\alpha^* = p - iq\) 也必然是該方程式的根。
類比： 把複數根想像成磁鐵；它們絕對不會孤獨存在！如果你的多項式只包含實數，複數根必須成對出現，這樣在相乘或相加時，虛部才會抵消，從而確保最終係數保持為實數。
應用定理
此定理對於因式分解至關重要：
如果一個實係數三次方程式，已知其中一個根為 \(3+i\)：
- 第二個根必然是 \(3-i\)。
- 由於三次方程式只有三個根，第三個根 (\(\gamma\)) 必然是實數（因為如果它是複數，其共軛根會導致出現第四個根，那它就會變成四次方程式！）。
這使你可以立即求出這兩個複數根的和與積，它們結合起來會構成一個具有實係數的二次因式：
$$(x - \alpha)(x - \alpha^*) = x^2 - (\alpha + \alpha^*)x + \alpha \alpha^*$$
- 共軛對之和： \((p+iq) + (p-iq) = 2p\) （實數）
- 共軛對之積： \((p+iq)(p-iq) = p^2 + q^2\) （實數）
一旦找到了這個實係數二次因式，你就可以利用多項式除法或係數比較法來找出剩餘的因式（即實根所在）。
你知道嗎？
由於共軛根定理，任何實係數多項式總是可以分解為線性因式（對應實根）與二次因式（對應共軛複數對）的乘積。
第四部分：構建經過變換根的方程式
考試題目經常要求你求出一個新的多項式方程式，其根是原方程式根的函數。例如，如果原根為 \(\alpha, \beta, \gamma\)，則新根可能是 \(\alpha^2, \beta^2, \gamma^2\) 或 \(\alpha+2, \beta+2, \gamma+2\)。
方法一：直接代入法（最快捷的方法）
最有效率的方法是利用代換法，將舊根 \(x\) 與新根 \(y\) 聯繫起來。
步驟流程：
- 設 \(x\) 為原方程式 \(f(x) = 0\) 的根。
- 將新根 \(y\) 定義為 \(x\) 的函數（例如 \(y = x+2\) 或 \(y = \frac{1}{x}\)）。
- 整理表達式以分離 \(x\)（例如，若 \(y = x^2\)，則 \(x = \sqrt{y}\)）。
- 將此 \(x\) 的表達式代回原方程式 \(f(x) = 0\)。
- 簡化所得的 \(y\) 方程式。這條新方程式就是題目要求的目標多項式。
例子： 若原方程式為 \(x^3 + 4x - 5 = 0\)，其根為 \(\alpha, \beta, \gamma\)，求根為 \(1/\alpha, 1/\beta, 1/\gamma\) 的方程式。
- 新根： \(y = \frac{1}{x}\)
- 整理： \(x = \frac{1}{y}\)
- 代入原式： $$\(\left(\frac{1}{y}\right)^3 + 4\left(\frac{1}{y}\right) - 5 = 0\)$$
- 乘以 \(y^3\) 以消除分母： $$\(1 + 4y^2 - 5y^3 = 0\)$$
- 整理為標準型： $$\(5y^3 - 4y^2 - 1 = 0\)$$
新的方程式為 \(5x^3 - 4x^2 - 1 = 0\)。(再次使用 \(x\) 作為變量)。
方法二：利用新根之和（傳統方法）
如果代入法過於繁瑣（例如轉換為 \(\alpha^2\)，這會引入平方根），你可以直接計算新根的和與積。
對於一個新三次方程式 \(Y^3 + PY^2 + QY + R = 0\)，其根為 \(\alpha^2, \beta^2, \gamma^2\)：
- $P = -(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) = - \Sigma \alpha^2$
- $Q = (\alpha^2\beta^2 + \alpha^2\gamma^2 + \beta^2\gamma^2) = \Sigma (\alpha\beta)^2$
- $R = -(\alpha^2\beta^2\gamma^2) = - (\alpha\beta\gamma)^2$
你必須先從舊方程式計算出 \(\Sigma \alpha\)、\(\Sigma \alpha\beta\) 和 \(\alpha\beta\gamma\)，然後運用第一部分提到的恆等式（推廣至三個變量）來求出 $P, Q,$ 和 $R$。
給同學的建議： 方法一（直接代入法）通常更快且較不容易出現代數錯誤，除非題目明確要求使用新根之和。請多練習代入法！
重點回顧（變換）
變換方程式通常涉及將原變量 $x$ 替換為新變量 $y$ 的函數。在代入前，請務必先整理成 $x=$ （關於 $y$ 的函數）的形式。