反三角函數微積分 (FP2.7)
歡迎來到本章節，我們將一起揭開一組極為實用的函數——反三角函數 (Inverse Trigonometrical Functions)（亦稱為反函數 (Arc Functions)）的微積分秘密。
你已經熟練掌握了正弦、餘弦和正切函數的微分與積分，現在我們要把目光轉向它們的「反轉」運算：\(\sin^{-1} x\)、\(\cos^{-1} x\) 和 \(\tan^{-1} x\)。這些概念對於解決特定的、具挑戰性的積分問題至關重要，特別是在處理涉及平方根或平方和的分式時更是不可或缺。
快速回顧：什麼是反三角函數？
你可以將反三角函數看作是用數學方式來詢問角度的問題：
如果 \(\sin(\theta) = x\)，那麼反函數就是在問：\(\theta\) 是多少？
我們將答案寫作 \(\theta = \sin^{-1} x\)（或 \(\theta = \arcsin x\)）。
- 記法檢查：在進階數學 (Further Maths) 中，我們主要使用 \(\sin^{-1} x\)、\(\cos^{-1} x\) 和 \(\tan^{-1} x\) 這些符號。
- 定義域與值域：請記住，為了確保反函數的函數特性，反三角函數的值域被限制在主值範圍內（例如，\(\sin^{-1} x\) 通常被限制在 \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)）。
1. 反三角函數的微分
不用擔心在考試中需要推導這些公式——它們會提供在你的公式手冊 (Formulae Booklet) 中！你的任務是熟悉並準確應用它們，特別是在函數參數比單純的 \(x\) 更複雜的時候。
關鍵導數（來自公式手冊）
以下是你必須熟悉的基礎結果：
(i) \(y = \sin^{-1} x\) 的導數
如果 \(y = \sin^{-1} x\)，則：
(ii) \(y = \cos^{-1} x\) 的導數
如果 \(y = \cos^{-1} x\)，則：
你發現竅門了嗎？
注意到 \(\cos^{-1} x\) 的導數與 \(\sin^{-1} x\) 的導數完全相同，只是多了一個負號！這是一個很棒的記憶輔助法，記住一個，就等於記住了另一個。
(iii) \(y = \tan^{-1} x\) 的導數
如果 \(y = \tan^{-1} x\)，則：
快速回顧：關鍵導數
- \(\sin^{-1} x \rightarrow\) 帶根號的正分數。
- \(\cos^{-1} x \rightarrow\) 帶根號的負分數。
- \(\tan^{-1} x \rightarrow\) 不帶根號的正分數。
應用連鎖律 (Chain Rule)
當參數是 \(x\) 的函數時，例如 \(y = \sin^{-1} (f(x))\)，你必須使用連鎖律。這意味著要將標準導數乘以內部函數的導數 \(f'(x)\)。
例子：求 \(y = \tan^{-1} (2x)\) 的導數。
設 \(u = 2x\)，則 \(\frac{du}{dx} = 2\)。
使用連鎖律，\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}\)。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (2x)^2} \cdot 2 = \frac{2}{1 + 4x^2} \]
微分重點摘要：熟悉這三個標準導數（它們都在公式手冊裡！）。當參數不是單純的 \(x\) 時，切記要使用連鎖律。
2. 導致反三角函數的積分
積分本質上就是微分的逆運算。因此，如果我們對標準導數進行積分，就能得到反三角函數。這些積分被稱為標準積分 (Standard Integrals)，是 FP2 中必備的工具。
包含常數 \(a\) 的標準形式也會提供在公式手冊中。以下是你必須能夠識別並使用的兩種形式：
標準積分
(i) 導致 \(\tan^{-1}\) 的積分（平方和）
該積分源自 \(\tan^{-1} x\) 的導數，並推廣至包含常數 \(a\)。
類比：完美分母
如果你看到的分母形如「一個數的平方加上一個變數的平方 (\(a^2 + x^2\))」，就聯想到 \(\tan^{-1}\)。結果在反三角函數外總會有一個 \(\frac{1}{a}\) 的係數，且函數內部為 \(\frac{x}{a}\)。
常見錯誤：忘了在結果前面補上 \(\frac{1}{a}\)！
(ii) 導致 \(\sin^{-1}\) 的積分（根號下的平方差）
該積分源自 \(\sin^{-1} x\) 的導數，並推廣至包含常數 \(a\)。
溫馨提示：關鍵順序
對於反正弦積分，其形式必須是 \(\sqrt{\mathbf{a^2 - x^2}}\)。常數的平方必須位於根號內減號的前面。
你知道嗎？如果順序相反，變成了 \(\sqrt{x^2 - a^2}\)，答案將涉及反雙曲餘弦 (\(\cosh^{-1}\))，這在 FP2.9 中才會介紹。由於 FP2.7 的考綱僅包含反正弦形式，請專注於 \(\sqrt{a^2 - x^2}\) 即可。
積分重點摘要：常數 \(a\) 至關重要。你必須識別分母中 \(a^2\) 是多少（從而得出 \(a\)），才能正確代入最終公式。
3. 策略：處理積分以符合標準形式
通常，你面對的積分看起來不會完全符合標準形式，但你可以透過兩種關鍵技巧進行變換：配方法 (Completing the Square) 和 代換法 (Substitution)。
3.1 配方法
如果分母是二次表達式，你可能需要配方以達到標準形式 \(\int \frac{1}{(A)^2 + (f(x))^2} \, dx\) 或 \(\int \frac{1}{\sqrt{(A)^2 - (f(x))^2}} \, dx\)。
步驟範例（以 \(\tan^{-1}\) 為例）：
考慮 \(\int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx\)。
- 配方： \(x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 - 4 + 5 = (x + 2)^2 + 1\)。
- 改寫積分： \[ \int \frac{1}{(x + 2)^2 + 1} \, dx \]
- 識別參數： 將其與 \(\int \frac{1}{u^2 + a^2} \, du\) 進行比較。
這裡 \(u = x + 2\)（所以 \(du = dx\)），且 \(a^2 = 1\)，代表 \(a = 1\)。 - 應用公式： 積分結果為 \(\frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{u}{a} \right) + C\)。
\[ \frac{1}{1} \tan^{-1} \left( \frac{x + 2}{1} \right) + C = \tan^{-1} (x + 2) + C \]
3.2 使用代換法（逆向連鎖律）
如果反三角函數內的 \(x\) 表達式較複雜，或者分子包含了分母參數的導數，你就需要使用代換法。
如果你看到 \(\int \frac{f'(x)}{\sqrt{a^2 - (f(x))^2}} \, dx\)，就應該使用代換 \(u = f(x)\)。
例子：計算 \(\int \frac{2x}{\sqrt{4 - x^4}} \, dx\)
看起來很複雜！讓我們嘗試將其套入 \(\sin^{-1}\) 的形式，即 \(\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} \, du\)。
- 選擇代換： 注意到根號下的參數為 \(x^4 = (x^2)^2\)。設 \(u = x^2\)。
- 求 \(du\)： \(\frac{du}{dx} = 2x\)，所以 \(du = 2x \, dx\)。
- 改寫積分： 分子 \(2x \, dx\) 變成了 \(du\)，分母變成了 \(\sqrt{4 - u^2}\)。
\[ \int \frac{du}{\sqrt{4 - u^2}} \] - 識別參數： 將其與 \(\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} \, du\) 進行比較。
這裡 \(a^2 = 4\)，所以 \(a = 2\)。 - 應用公式： 積分結果為 \(\sin^{-1} \left( \frac{u}{a} \right) + C\)。
\[ \sin^{-1} \left( \frac{u}{2} \right) + C \] - 還原 \(x\)： 將 \(u = x^2\) 代回。
\[ \sin^{-1} \left( \frac{x^2}{2} \right) + C \]
加油：如果代換法看起來很難也不要擔心，關鍵在於識別模式。如果你看到 \(\frac{f'(x)}{\text{關於 } f(x) \text{ 的函數}}\)，通常代換法就是正確的解題方向！
快速回顧：反三角微積分檢查清單
微分 (\(\frac{d}{dx}\))：
1. \(\sin^{-1} x\) 得 \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)。
2. \(\cos^{-1} x\) 得 \(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)。
3. \(\tan^{-1} x\) 得 \(\frac{1}{1 + x^2}\)。
*如果參數較複雜，請務必使用連鎖律。*
積分 (\(\int\))：
1. \(\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx\)（平方和）導向 \(\frac{1}{a} \tan^{-1} (\frac{x}{a}) + C\)。
2. \(\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx\)（根號下常數減變數平方）導向 \(\sin^{-1} (\frac{x}{a}) + C\)。
*留意是否需要配方法或代換法來將積分轉換為標準形式。*