Uniform distribution

歡迎來到均勻分佈的世界！

你好，未來的進階數學家！「均勻分佈 (Uniform Distribution)」這一章是你正式踏入 FS1 統計模組中連續隨機變量 (continuous random variables) 的第一個深入課題。不用擔心，這是所有分佈中最友善的一個！

我們稱之為「均勻」，是因為它非常公平——在特定範圍內的每一個數值都擁有完全相同的機率密度。掌握這個概念至關重要，它不僅是考試得分的基礎，更是你日後理解正態分佈 (Normal Distribution) 或指數分佈 (Exponential Distribution) 等更複雜分佈的基石。

準備好掌握公式、理解條件並征服推導了嗎？我們出發吧！

引言重點總結

均勻分佈用於模擬在一個定義區間內，所有結果出現的機會均完全相等的情況。

1. 理解連續均勻分佈 (FS1.2: 應用條件)

由於均勻分佈的機率圖形呈現矩形，它通常也被稱為矩形分佈 (Rectangular Distribution)。

使用它的條件是什麼？

若一個隨機變量 \(X\) 在特定區間（例如從 \(a\) 到 \(b\)）內服從均勻分佈，需滿足以下條件：

1. \(X\) 必須是一個連續隨機變量。這意味著 \(X\) 可以取該範圍內的任何數值（例如時間、距離、溫度），而不僅限於離散的整數。
2. 在區間 \(a \le x \le b\) 內，機率密度必須是恆定不變的。
3. 在該範圍之外，機率密度必須為零。

記法： 我們記作 \(X \sim U(a, b)\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 分別是可能出現的最小值與最大值，且 \(a < b\)。

類比：巴士到達時間

想像一輛巴士在上午 8:00 (\(a=0\)) 到 8:10 (\(b=10\)) 之間隨機到達車站。如果到達時間是真正的隨機，且不受交通或時刻表影響，那麼到達時間（以 8:00 後的分鐘數計算）就是均勻分佈，即 \(X \sim U(0, 10)\)。無論你是在 8:01:05 還是 8:07:32 到達，該特定時間點的密度都是一樣的。

第一節重點總結

若一個變量 \(X\) 的密度在兩個界限 \(a\) 和 \(b\) 之間是平坦的（恆定的），則它服從均勻分佈。

2. 機率密度函數 (PDF)

對於任何連續分佈，其曲線（或圖形）下的總面積必須永遠等於 1（代表 100% 的機率）。

因為均勻分佈繪圖後會形成一個矩形，所以面積的計算非常簡單：

$$\text{面積} = \text{高} \times \text{寬}$$

我們知道面積必須等於 1。矩形的寬度即是區間的長度，即 \((b - a)\)。

$$\text{高} \times (b - a) = 1$$

因此，高度（也就是機率密度函數 \(f(x)\)）必須是：

$$f(x) = \frac{1}{b-a}$$

PDF 的定義公式

對於 \(X \sim U(a, b)\)，其機率密度函數 (PDF) 的完整定義為：

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{for } a \le x \le b \\ 0 & \text{其他情況} \end{cases}$$

記憶小撇步： 把這想像成一塊蛋糕！如果你切出一塊長度為 \((b-a)\) 的蛋糕，為了讓總面積（體積）為 1，切片的高度必須是長度的倒數：\(1/(b-a)\)。

第二節重點總結

機率密度函數 \(f(x)\) 就是機率矩形的高度，等於 \(1\) 除以區間的長度 \((b-a)\)。

3. 計算機率 (FS1.2: 機率的計算)

要找出 \(X\) 落在子區間 \([c, d]\) 內的機率（其中 \(a \le c \le d \le b\)），我們只需計算該子區間所構成的矩形面積即可。

$$P(c \le X \le d) = \text{子矩形的面積}$$

$$\text{面積} = \text{高} \times \text{子區間的寬度}$$

$$P(c \le X \le d) = f(x) \times (d - c)$$

代入 PDF 公式：

$$P(c \le X \le d) = \left(\frac{1}{b-a}\right) \times (d-c) = \frac{d-c}{b-a}$$

關於連續變量的小提醒

不必糾結不等式是嚴格的 (\(<\)) 還是非嚴格的 (\(\le\))。因為 \(X\) 是連續的，任何單一點的機率均為零。

$$P(X=c) = 0$$

因此：

$$P(c < X < d) = P(c \le X < d) = P(c \le X \le d)$$

步驟範例

機器產生一個 2 到 8 之間的隨機數 \(X\)。求該數值介於 3 和 5 之間的機率。 (\(X \sim U(2, 8)\)。故 \(a=2\)，\(b=8\))。

1. 求區間長度： \(b - a = 8 - 2 = 6\)。
2. 求 PDF（高度）： \(f(x) = 1/6\)。
3. 求目標子區間寬度： \(d - c = 5 - 3 = 2\)。
4. 計算機率（面積）：

$$P(3 < X < 5) = \text{高} \times \text{寬} = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

第三節重點總結

計算機率的方法，就是求出目標子區間長度佔總區間長度的比例：\(\frac{\text{目標區間長度}}{\text{總區間長度}}\)。

4. 平均值與變異數 (FS1.2: 平均值與變異數 - 要求掌握及推導)

對於均勻分佈，平均值和變異數的公式雖然已收錄在你的公式手冊中，但課程大綱明確指出必須懂得推導過程。這意味著你必須學會如何利用積分來證明這些結果。

記住，對於任何連續分佈：

• 平均值 \(E(X) = \mu = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx\)
• 變異數 \(Var(X) = \sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2\)

由於 \(f(x) = \frac{1}{b-a}\) 僅存在於 \(a\) 到 \(b\) 之間，我們的積分上下限可作相應簡化。

4.1 平均值 \(E(X)\)

直觀地說，由於該分佈是完全對稱的，平均值必然是區間 \([a, b]\) 的中點。

要求結果： $$\mu = E(X) = \frac{a+b}{2}$$

推導過程（證明）：

$$E(X) = \int_a^b x f(x) dx = \int_a^b x \left(\frac{1}{b-a}\right) dx$$

由於 \(\frac{1}{b-a}\) 是常數，我們可以將其提出：

$$E(X) = \frac{1}{b-a} \int_a^b x dx$$

積分 \(x\)：

$$E(X) = \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_a^b$$

代入上下限：

$$E(X) = \frac{1}{b-a} \left( \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2} \right)$$

提出 \(\frac{1}{2}\)：

$$E(X) = \frac{1}{2(b-a)} (b^2 - a^2)$$

使用平方差公式：\(b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)\)：

$$E(X) = \frac{1}{2(b-a)} (b-a)(b+a)$$

約去 \((b-a)\) 項：

$$E(X) = \frac{a+b}{2}$$

第一個推導完成了！做得好！

4.2 變異數 \(Var(X)\)

要計算變異數，我們首先需要計算 \(E(X^2)\)。

$$E(X^2) = \int_a^b x^2 f(x) dx = \int_a^b x^2 \left(\frac{1}{b-a}\right) dx$$

$$E(X^2) = \frac{1}{b-a} \int_a^b x^2 dx$$

積分 \(x^2\)：

$$E(X^2) = \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_a^b$$

代入上下限：

$$E(X^2) = \frac{1}{b-a} \left( \frac{b^3}{3} - \frac{a^3}{3} \right) = \frac{1}{3(b-a)} (b^3 - a^3)$$

現在使用立方差公式：\(b^3 - a^3 = (b-a)(a^2 + ab + b^2)\)：

$$E(X^2) = \frac{1}{3(b-a)} (b-a)(a^2 + ab + b^2)$$

約去 \((b-a)\) 項：

$$E(X^2) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$$

現在代入變異數公式：\(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)：

$$Var(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$$

展開平均值項的平方：

$$Var(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}$$

通分（公分母為 12）：

$$Var(X) = \frac{4(a^2 + ab + b^2) - 3(a^2 + 2ab + b^2)}{12}$$

展開括號：

$$Var(X) = \frac{(4a^2 + 4ab + 4b^2) - (3a^2 + 6ab + 3b^2)}{12}$$

合併同類項：

$$Var(X) = \frac{(4a^2 - 3a^2) + (4ab - 6ab) + (4b^2 - 3b^2)}{12}$$

$$Var(X) = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{12}$$

識別分子為完全平方公式：\(a^2 - 2ab + b^2 = (b-a)^2\)：

要求結果： $$Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$$

變異數的代數推導確實比較繁瑣，但重點在於三個步驟：計算 \(E(X^2)\)、使用立方差公式，以及最後通分代入變異數公式。多練習幾次，將推導變成你的反射動作！

速查：均勻分佈公式

5. 標準差的運用與實際應用

一旦你得到了平均值和變異數，計算標準差 (SD) 就非常直接：它就是變異數的平方根。

應用範例

一台機器被程式編定切削金屬桿至長度 \(L\) (單位為 cm)。由於輕微誤差，實際長度 \(X\) 在 19.8 cm 到 20.2 cm 之間均勻分佈。(\(X \sim U(19.8, 20.2)\))。

1. 求金屬桿的平均長度。

使用平均值公式：\(a=19.8\)，\(b=20.2\)。

$$E(X) = \frac{19.8 + 20.2}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ cm}$$

這非常合理——平均值正好是預定的長度。

2. 求長度的變異數與標準差。

先計算 \((b-a)\)：\(20.2 - 19.8 = 0.4\)

變異數：

$$Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(0.4)^2}{12} = \frac{0.16}{12} = \frac{1}{75}$$

標準差：

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{75}} \approx 0.115 \text{ cm (取 3 位有效數字)}$$

先備知識檢查：連續 vs. 離散

如果你覺得這章很有挑戰性，簡要回顧一下連續與離散隨機變量的基本區別：

• 離散（例如：二項分佈、泊松分佈）： 使用累加符號 (\(\sum\))、機率質量函數，以及計算 \(P(X=x)\)。
• 連續（例如：均勻分佈）： 使用積分符號 (\(\int\)) 或幾何方法（面積）、機率密度函數 \(f(x)\)，且 \(P(X=x)=0\)。

均勻分佈本質上是連續機率規則最簡潔的應用，這讓它成為鞏固你「透過積分 PDF 來求取期望值」觀念的最佳起點！

現在你已經掌握了均勻分佈的核心內容——從基礎的常數 PDF 到平均值與變異數的積分推導。繼續練習這些推導吧！