歡迎來到代數的世界！
歡迎閱讀 P1: 純數學 - 代數 的學習筆記。請把代數不僅看作是一系列規則，而是一個數學「工具箱」。一旦你掌握了這些工具，就能夠解開微積分、幾何及其他領域中更複雜的問題。本章涵蓋了從「化簡」數字（根式）到解方程，以及理解函數圖形特徵的所有內容。
如果起初覺得有些內容很棘手，別擔心——數學是一項隨着練習而進步的技能。讓我們開始吧！
1. 根式與指數：掌握基礎
在蓋房子之前，我們需要先了解磚塊。根式與指數是代數表達式的基本組成部分。
根式 (Surds)
根式是保留在根號形式下（如 \(\sqrt{2}\) 或 \(\sqrt{3}\)）的無理數。我們使用它們是因為它們代表精確值。例如，\(1.41\) 只是個近似值，而 \(\sqrt{2}\) 才是完美的精確值！
必須記住的關鍵規則：
1. \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)
2. \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
有理化分母：
在數學中，我們不喜歡分數底部帶有根號。這就像把襪子穿在鞋子外面一樣——看起來很亂！為了「修正」它，我們將分子和分母同時乘以一個能消去根號的值。
例子： 要將 \(\frac{1}{\sqrt{2} - 1}\) 有理化，我們將分子和分母同時乘以 \((\sqrt{2} + 1)\)。這運用了「平方差公式」來移除分母中的根號。
指數 (Indices)
指數告訴我們一個數字需要乘自身多少次。你需要熟悉有理指數（分數形式的指數）。
快速複習：
• \(x^a \times x^b = x^{a+b}\)
• \(x^a \div x^b = x^{a-b}\)
• \((x^a)^b = x^{ab}\)
• \(x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}\) （分數的分母就是根指數！）
要避免的常見錯誤：
記住 \(x^0 = 1\)，而不是 \(0\)！另外，負指數如 \(x^{-2}\) 代表「倒數」，所以 \(x^{-2} = \frac{1}{x^2}\)。它並不會讓數字變成負數。
重點總結： 根式能讓你的答案保持精確。指數則遵循嚴格的規則——學會這些規則，題目自然迎刃而解！
2. 二次函數
二次函數是指任何 \(x\) 的最高次方為 \(x^2\) 的表達式。它們繪出的圖形永遠是 U 型或倒 U 型的曲線，稱為拋物線 (Parabola)。
解二次方程的三種方法
當考試要求你「解」 \(ax^2 + bx + c = 0\) 時，你有三個主要工具：
1. 因式分解： 將表達式拆解成兩個括號。例子： \(x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)\)。
2. 二次方程公式： 「老牌可靠」的方法。當因式分解太難時使用它： \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)。
3. 配方法： 這涉及將二次表達式寫成 \((x+p)^2 + q\) 的形式。這對於找出圖形的頂點 (Vertex)（轉折點）非常有用。
判別式：函數的「情緒計」
公式中根號下的部分 \(b^2 - 4ac\) 被稱為判別式。它告訴我們圖形與 x 軸的交點數量：
• 若 \(b^2 - 4ac > 0\)：兩個不同的實根（圖形與 x 軸相交兩次）。
• 若 \(b^2 - 4ac = 0\)：一個實根（重根；圖形在頂點處僅僅觸碰 x 軸）。
• 若 \(b^2 - 4ac < 0\)：沒有實根（圖形懸浮在 x 軸上方或下方）。
你知道嗎？ 二次函數圖形的對稱軸永遠通過頂點。如果你配方後得到 \((x-3)^2 + 5\)，那麼對稱軸就是 \(x = 3\)。
重點總結： 判別式是一個快捷鍵。它能讓你無需解出整個方程，就能直接判斷根的性質！
3. 聯立方程與不等式
有時你需要同時處理兩個方程，或者處理的不是「等於」關係，而是「大於」或「小於」關係。
聯立方程
在 P1 中，你經常會遇到一個線性方程（如 \(y = x + 2\)）和一個二次方程（如 \(y = x^2 - 4\)）。
步驟流程：
1. 重組線性方程，得出 \(y = ...\) 或 \(x = ...\)。
2. 將此式代入二次方程中。
3. 解出所得的二次方程，求出第一個變量。
4. 將答案代回線性方程以求出另一個變量。
二次不等式
解 \(x^2 + x - 6 > 0\) 與解方程不同。
「草圖法」：
1. 將方程視為 \(= 0\) 來解，找出「關鍵值」。
2. 畫出拋物線草圖。
3. 如果題目要求 \(> 0\)，則觀察圖形在 x 軸上方的部分。如果是 \(< 0\)，則觀察在 x 軸下方的部分。
重點總結： 對於不等式，一定要畫草圖！這是確保你不會混淆「大於」與「小於」符號的最簡單方法。
4. 多項式：除法與定理
多項式是指包含多個項的表達式，例如三次多項式： \(ax^3 + bx^2 + cx + d\)。
代數除法
你可以將多項式除以一個線性項，例如 \((x - a)\)。這就像你在小學學過的長除法，只是變成了代數符號！你也可以透過比較係數，使用「觀察法」來進行。
因式定理與餘式定理
這兩個定理能為你節省大量時間。
• 餘式定理： 如果你將多項式 \(f(x)\) 除以 \((x - a)\)，餘數直接等於 \(f(a)\)。
• 因式定理： 如果你將 \(a\) 代入函數後得到零 (\(f(a) = 0\))，那麼 \((x - a)\) 就是該多項式的因式。
記憶口訣：「零就是英雄」
如果結果是零，你就找到了一個因式！這就是我們如何將龐大的三次方程分解成更小、可解的部分。
例子： 如果 \(f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3\) 且你發現 \(f(1) = 0\)，那麼你可以確定 \((x - 1)\) 是一個因式。
重點總結： 在開始長除法之前，先使用因式定理檢查括號是否為因式。這能為你省下不少功夫！
5. 圖形與交點
代數與幾何是同一枚硬幣的兩面。方程只是一個在圖形上創造形狀的規則。
繪製曲線
你應該能夠辨識並繪製：
• 線性： 一條直線。
• 二次： 一條 U 型或倒 U 型拋物線。
• 三次： 一條 S 型曲線（通常有兩個轉折點）。
交點
如果你有兩個函數 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，它們圖形交匯的點就是方程 \(f(x) = g(x)\) 的解。
• 2 個交點 = 2 個實數解。
• 1 個交點（相切） = 1 個重根解。
• 無交點 = 無實數解。
快速複習箱：
• 頂點： 二次函數的最高點或最低點。
• 根： 圖形與 x 軸的交點。
• y 軸截距： 圖形與 y 軸的交點（令 \(x = 0\)）。
重點總結： 如果你在代數問題上卡住了，試着想像一下圖形在做什麼。通常，「幾何」會讓「代數」變得更加清晰明瞭！