Algebra and functions

歡迎來到代數與函數世界！

你好！這一章節「代數與函數 (Algebra and Functions)」，可說是高等數學中最根本的基石。你可以把它想像成微積分、三角學以及所有 P2 主題賴以建立的地基。我們將先從溫習 AS Level (P1) 的代數運算技巧開始，隨後深入探討 A Level (P2) 所需的函數理論及進階多項式技術。

別擔心有些概念看起來既熟悉又困難——我們會一步步為你拆解。學完這一章，你就能像專家一樣靈活處理代數式、繪製複雜函數圖形，以及解聯立方程！

第 1 節：代數運算核心 (P1 溫習)

1.1 根式與指數 (Surds and Indices)

根式與指數只是處理次方和根號的兩種不同方法。掌握這些基礎，將能讓你在後續的主題中游刃有餘。

簡化根式 (Simplification of Surds)

根式 (Surd) 是指包含根號的無理數（例如 \(\sqrt{2}\) 或 \(\sqrt{5}\)）。我們透過尋找平方數因數來簡化根式。

步驟範例： 簡化 \(\sqrt{72\)
1. 找出 72 的最大平方因數。（是 36）。
2. 改寫根式：\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2\)
3. 分拆根號：\(\sqrt{36} \times \sqrt{2\)
4. 簡化：\(6\sqrt{2\)

分母有理化 (Rationalising the Denominator)

分數的分母不能留有根式。這個過程稱為有理化 (Rationalisation)。

• 若分母為單項根式（例如 \( \frac{1}{\sqrt{a}} \)），分子分母同乘 \(\sqrt{a}\)。
• 若分母為包含根式的二項式（例如 \( a+\sqrt{b} \)），分子分母同乘其共軛複數 (Conjugate)，即 \( a-\sqrt{b} \)。這利用了平方差公式：\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)。

使用共軛複數的例子： 有理化 \( \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \)
乘上共軛複數 \(\sqrt{2} + 1\)：
$$ \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - (1)^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1 $$

指數律 (Laws of Indices，適用於所有有理指數)

記住以下處理次方的關鍵法則：

• 乘法： \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
• 除法： \( a^m \div a^n = a^{m-n} \)
• 冪的乘方： \( (a^m)^n = a^{mn} \)
• 負指數： \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
• 分數指數（根）： \( a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \)
• 一般分數指數： \( a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m \)

1.2 二次函數 (Quadratic Functions)

二次函數的形式為 \( ax^2 + bx + c \)。其圖形是一條 U 型曲線，稱為拋物線 (Parabola)。

配方法 (Completing the Square)

配方法將標準式轉換為頂點式 (Vertex form)：\( a(x+p)^2 + q \)。此形式能直接告訴我們最小值（或最大值）所在的頂點 (Vertex) 為 \((-p, q)\)。

步驟範例： 將 \( x^2 + 6x - 1 \) 配方
1. 將 \(x\) 的係數減半：\(+6 \rightarrow +3\)
2. 寫出平方括號：\((x+3)^2\)
3. 展開得 \(x^2 + 6x + 9\)。我們只需要 \(x^2 + 6x\)，所以減去剛才平方項的常數：\((x+3)^2 - 9\)
4. 加回原始常數：\((x+3)^2 - 9 - 1 = (x+3)^2 - 10\)
頂點位於 \((-3, -10)\)。對稱軸 (Line of symmetry) 為 \(x = -3\)。

判別式 (The Discriminant, \( \Delta \))

判別式，記作 \(\Delta\)，是二次公式中根號內的部分：\(\Delta = b^2 - 4ac\)。它能在不解方程的情況下告訴你根（解）的性質。

• 若 \( \mathbf{b^2 - 4ac > 0} \)：有兩個相異實根（拋物線與 x 軸交於兩點）。
• 若 \( \mathbf{b^2 - 4ac = 0} \)：有一個重實根（拋物線在頂點處與 x 軸相切）。
• 若 \( \mathbf{b^2 - 4ac < 0} \)：無實根（拋物線完全在 x 軸上方或下方）。

解二次方程

解 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有三個主要工具：

1. 因式分解： 最快的方法，但僅限於根為整數或簡單分數時。
2. 二次公式： 萬用方法。你必須背誦此公式，因為試卷不提供： $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
3. 配方法： 若題目要求以根式形式回答，或需要同時找出頂點時很有用。

1.3 多項式、除法與定理

多項式 (Polynomial) 是由變數和係數組成，且僅包含加、減、乘法及非負整數次方的運算式（例如 \( x^3 - 5x^2 + 7x - 3 \)）。

簡易代數除法

當多項式 \( f(x) \) 除以線性因式 \( (x-a) \) 時，可以使用長除法、檢驗法（係數比較法）或合成除法。目標是將多項式寫成下列形式：

$$ \frac{\text{被除式}}{\text{除式}} = \text{商} + \frac{\text{餘式}}{\text{除式}} $$

例子：將 \( x^3 - x^2 - 5x + 2 \) 除以 \( x+2 \)。你會發現商為 \( x^2 - 3x + 1 \)，餘數為 0。

餘式定理 (Remainder Theorem)

餘式定理是一個極大的捷徑！如果多項式 \( f(x) \) 除以線性因式 \((x-a)\)，其餘數直接等於 \( f(a) \)。

技巧： 若除以 \( (x+3) \)，代入 \( a=-3 \)。若除以 \( (2x-1) \)，代入 \( a=\frac{1}{2} \)。只需將除式設為 0 並解出 \(x\) 即可。

因式定理 (Factor Theorem)

因式定理是餘式定理的特殊情況：
若 \( f(a) = 0 \)，則 \((x-a)\) 為 \( f(x) \) 的因式。

這對於分解三次多項式至關重要。由於你只需要處理因式 \((x-a)\) 中 \(a\) 為整數的情況，你可以測試常數項的整數因數（例如，測試 \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots\)）。

三次多項式分解步驟： 分解 \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3 \)
1. 測試常數項 (-3) 的整數因數。嘗試 \(x=1\)。
2. \( f(1) = (1)^3 - 5(1)^2 + 7(1) - 3 = 1 - 5 + 7 - 3 = 0 \)。
3. 既然 \(f(1)=0\)，則 \((x-1)\) 為因式。
4. 將 \( f(x) \) 除以 \((x-1)\) 以求得剩下的二次商式（例如使用代數除法或檢驗法： \( x^3 - 5x^2 + 7x - 3 = (x-1)(x^2 - 4x + 3) \)).
5. 分解二次式： \( x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-1) \)。
6. 完全分解： \( f(x) = (x-1)(x-1)(x-3) = (x-1)^2(x-3) \)。

1.4 聯立方程與不等式

解聯立方程（線性與二次）

你會遇到需要解析解出一條線性方程和一條二次方程的問題（例如，尋找直線與曲線的交點）。

代入法 (Substitution)

1. 將線性方程中的一個變數（通常是 \(y\) 或 \(x\)）設為主項。
2. 將此式代入二次方程。
3. 解出該二次方程以得到第一個變數的解。
4. 將這些解代回線性方程（較簡單的那個！）以求出第二個變數的對應值。

幾何意義： 解代表直線與曲線相交點的坐標。

• 若得到 2 個不同的解，代表直線與曲線相交於 2 點。
• 若得到 1 個重根（判別式 = 0），代表直線是曲線的切線 (Tangent)。
• 若無實解（判別式 < 0），代表直線與曲線完全沒有交集。

解線性與二次不等式

解不等式時，二次不等式的規則與線性不等式的簡單代數運算不同。

線性不等式（簡單代數）： 將不等號當作等號處理，但記住：如果乘或除以負數，必須變換不等號的方向。

二次不等式（繪圖是關鍵！）：

例子：解 \( 2x^2 + x \ge 6 \)。
1. 移項令一邊為 0： \( 2x^2 + x - 6 \ge 0 \)。
2. 找出臨界值 (Critical values)：令表達式等於 0 並求解： \( (2x-3)(x+2) = 0 \)。臨界值為 \( x = \frac{3}{2} \) 及 \( x = -2 \)。
3. 繪製拋物線 \( y = 2x^2 + x - 6 \)。由於 \(a=2\) 為正，這是開口向上的 U 型，交 x 軸於 -2 和 1.5。
4. 找出曲線 \(\ge 0\) 的區域（即在 x 軸上或上方）。
5. 寫出解：
$$ x \le -2 \text{ 或 } x \ge \frac{3}{2} $$

第 2 節：函數與圖形變換 (P2 延伸)

現在進入 P2 材料，重點關注函數的正式定義，以及如何對其圖形進行拉伸、反射和平移。

2.1 函數、定義域與值域

函數 (Function) 是一條規則，將每個輸入值（來自定義域）映射到唯一一個輸出值（在值域中）。

• 定義域 (Domain)： 所有可能的輸入值集 (\(x\))。
• 值域 (Range)： 所有可能的輸出值集 (\(f(x)\) 或 \(y\))。

你知道嗎？ 定義域與值域的概念極為重要，因為並非所有函數都對所有實數有定義。例如，\( f(x) = \frac{1}{x-2} \) 不能接受 \(x=2\)，而 \( g(x) = \sqrt{x} \) 不能接受負數 \(x\)。

函數的合成 (Composition of Functions)

當你將一個函數放入另一個函數時，這就是合成。

記號 \( fg(x) \) 表示「先執行 \(g\)，再將結果執行 \(f\)」。因此， \( fg(x) = f(g(x)) \)。

例子：若 \( f(x) = x^2 + 1 \) 且 \( g(x) = 2x \)。
$$ fg(x) = f(2x) = (2x)^2 + 1 = 4x^2 + 1 $$ $$ gf(x) = g(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2 $$

反函數 (Inverse Functions, \( f^{-1}(x) \))

反函數 \( f^{-1}(x) \) 撤銷了 \( f(x) \) 的運算。如果 \( f(a) = b \)，那麼 \( f^{-1}(b) = a \)。

求 \( f^{-1}(x) \) 的步驟：
1. 設 \( y = f(x) \)。
2. 交換 \( x \) 和 \( y \)。
3. 重排新方程使 \( y \) 成為主項。
4. 將 \( y \) 替換為 \( f^{-1}(x) \)。

圖形上： \( y = f^{-1}(x) \) 的圖形是 \( y = f(x) \) 關於直線 \( y = x \) 的反射。

2.2 模函數 (The Modulus Function)

模函數 (Modulus function)，寫作 \( |x| \)，給出 \(x\) 的絕對值（正值）。本質上它代表距離零點的距離。

$$ |x| = \begin{cases} x & \text{若 } x \ge 0 \\ -x & \text{若 } x < 0 \end{cases} $$

繪製 \( y = |f(x)| \)：
要畫出 \( y = |f(x)| \)，請將原始圖形 \( y=f(x) \) 在 x 軸下方的部分反射到 y 的正區域（x 軸上方）。

解模不等式：
最好的方法通常是畫圖，或是將兩邊平方（請確保不要引入假解！）。

例子：解 \( |x+2| < 3|x| \)。
1. 兩邊平方： \( (x+2)^2 < (3x)^2 \)
2. \( x^2 + 4x + 4 < 9x^2 \)
3. 重排成二次不等式： \( 0 < 8x^2 - 4x - 4 \)，即 \( 2x^2 - x - 1 > 0 \)。
4. 找出臨界值： \( (2x+1)(x-1) = 0 \)。臨界值為 \( x = -\frac{1}{2} \) 及 \( x = 1 \)。
5. 繪製拋物線 \( y = 2x^2 - x - 1 \)。
6. 解： \( x < -\frac{1}{2} \text{ 或 } x > 1 \)。

2.3 圖形變換 (Transformations of Graphs)

你需要知道四種基本變換對 \( y = f(x) \) 圖形的影響。記住：對函數內部的更改（影響 \(x\)）通常與直覺相反！

變換	方程	對圖形的影響	方向
垂直拉伸	\( y = af(x) \)	拉伸係數 \(a\) (y坐標乘 \(a\))。	y 方向
垂直平移	\( y = f(x) + a \)	平移向量 \(\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}\)。(向上移動 \(a\))。	y 方向
水平平移	\( y = f(x + a) \)	平移向量 \(\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}\)。(向左移動 \(a\))。	x 方向（反直覺！）
水平拉伸	\( y = f(ax) \)	拉伸係數 \(\frac{1}{a}\) (x坐標除以 \(a\))。	x 方向（反直覺！）

記憶小撇步： 括號外的更改（影響 \(y\)）與預期一致（例如 \( +2 \) 代表向上移 2）。括號內的更改（影響 \(x\)）則完全相反（例如 \( (x+2) \) 代表向左移 2）。

第 3 節：有理函數與部分分式 (P2 進階)

3.1 有理函數的代數除法

有理函數 (Rational function) 是分子和分母皆為多項式的分數（例如 \( \frac{x^2 - 4x}{x^2 - 5x + 4} \)）。

簡化： 你通常可以透過分解分子和分母並消去公因式來簡化有理式。 $$ \frac{x^2 - 4x}{x^2 - 5x + 4} = \frac{x(x-4)}{(x-4)(x-1)} = \frac{x}{x-1} $$

如果分子的次數（最高次方）大於或等於分母的次數，你必須先執行代數除法。

代數除法範例（檢驗法）：
$$ \frac{3x+4}{x-1} $$ 由於我們希望 \( x-1 \) 能整除，故改寫分子：
$$ \frac{3(x-1) + 3 + 4}{x-1} = \frac{3(x-1) + 7}{x-1} = 3 + \frac{7}{x-1} $$

3.2 部分分式 (Partial Fractions)

部分分式是通分分數的逆運算。它將複雜的有理式拆解回簡單的分數。這對後續的積分和級數展開非常重要。

前提： 分子的次數必須小於分母的次數。若否，請先執行代數除法！

你需要處理兩種情況（不可約二次因式不在考核範圍內）：

情況 1：相異線性因式

若分母有因式 \((x-a)(x-b)(x-c)\)，則拆解為：

$$ \frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} $$

步驟範例： 分解 \( \frac{3x+1}{(x-1)(x+2)} \)。
1. 設恆等式： \( \frac{3x+1}{(x-1)(x+2)} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \)
2. 去分母： \( 3x+1 \equiv A(x+2) + B(x-1) \)
3. 使用代入法 (Substitution Method)（策略性地代入 \(x\)）：
   令 \( x = 1 \)： \( 3(1)+1 = A(1+2) + B(0) \implies 4 = 3A \implies A = \frac{4}{3} \)。
   令 \( x = -2 \)： \( 3(-2)+1 = A(0) + B(-2-1) \implies -5 = -3B \implies B = \frac{5}{3} \)。
4. 最終結果： \( \frac{4}{3(x-1)} + \frac{5}{3(x+2)} \)

情況 2：重複線性因式

若分母有重複因式，例如 \((x-a)^2\)，你必須包含從 1 次方到重複次數的所有項：

$$ \frac{P(x)}{(x-a)^2(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2} + \frac{C}{x-b} $$

解 \( \frac{3 + 2x^2}{(2x+1)(x-3)^2} \) 的設定： $$ \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x-3} + \frac{C}{(x-3)^2} $$ 去分母後，使用代入法（求 \(A\) 和 \(C\)）或係數比較法（求 \(B\)）。