歡迎來到圓的世界！
在 PP1: Pure Maths 的這一章中，我們將探討大自然中最完美的形狀之一：圓形 (Circle)。無論是披薩、時鐘表面還是行星軌道，圓形的數學原理隨處可見！讀完這些筆記後，你將能夠找出任何圓形的圓心、計算其大小，甚至能算出與圓邊相切的直線方程。
別擔心，如果起初覺得有點棘手也沒關係！我們會把它拆解成簡單易懂的步驟。只要你熟悉畢氏定理 (Pythagoras' Theorem) 和配方法 (Completing the Square)，你就已經成功一半了！
1. 圓的標準方程
圓只是一組與固定中心點（圓心 Centre）保持相同距離（半徑 Radius）的點的集合。
公式
圓心為 \((a, b)\)、半徑為 \(r\) 的圓，其方程寫作：
\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\]
可以這樣想：這個公式其實就是畢氏定理的變體！它計算的是任何一點 \((x, y)\) 與圓心 \((a, b)\) 之間的距離。
重要提示：「符號轉換」
當你觀察方程時，括號內的符號與圓心坐標是相反的。
例子：如果方程是 \((x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 16\)：
• 圓心是 \((3, -5)\)（注意 \(-3\) 變成了 \(+3\)，而 \(+5\) 變成了 \(-5\)）。
• 半徑是 \(\sqrt{16} = 4\)。
常見錯誤：許多學生會忘記對等號右邊的數字進行開方。請記住，公式使用的是 \(r^2\)，所以如果你看到 \(25\)，半徑應該是 \(5\)，而不是 \(25\)！
快速回顧：
• 圓心 \((a, b)\) 對應括號內的 \((x-a)\) 和 \((y-b)\)。
• 半徑是右側常數的平方根。
2. 尋找圓心與半徑（配方法）
有時候，考試給你的方程不會那麼整齊，而是以這種「混亂」的形式呈現：
\(x^2 + 4x + y^2 - 6y - 12 = 0\)
要找出圓心和半徑，我們需要使用配方法 (Completing the Square)。以下是分步指南：
第一步：將 \(x\) 項和 \(y\) 項分組。
\((x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = 12\)
第二步：分別進行配方。
• 對於 \(x^2 + 4x\)：\(4\) 的一半是 \(2\)，所以我們寫成 \((x + 2)^2 - 2^2\)。
• 對於 \(y^2 - 6y\)：\(-6\) 的一半是 \(-3\)，所以我們寫成 \((y - 3)^2 - (-3)^2\)。
第三步：整合並化簡。
\((x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 = 12\)
\((x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 12 + 4 + 9\)
\((x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25\)
最終結果：圓心是 \((-2, 3)\)，半徑是 \(\sqrt{25} = 5\)。
關鍵點：要還原圓的方程，只需將 \(x\) 和 \(y\) 的係數減半，放入括號中，然後減去它們的平方即可！
3. 圓的幾何性質
在處理坐標幾何問題時，你需要運用這三條經典的幾何規則。它們就像是尋找缺失資訊的「捷徑」。
性質 A：半圓性質
半圓上的圓周角是直角 (\(90^\circ\))。
如果你在圓內畫一個三角形，其中一邊是直徑 (Diameter)，那麼位於圓周上的那個角永遠是 \(90^\circ\)。這很有用，因為它讓你能夠使用畢氏定理或垂直線的斜率。
性質 B：弦的垂直平分線
從圓心到弦的垂直線會平分該弦。
想像一條直線（弦 Chord）穿過圓形。如果你從圓心畫一條線，以精確的 \(90^\circ\) 接觸弦，它將會把該弦完美地一分為二。
性質 C：切線性質
切線與切點處的半徑垂直。
切線 (Tangent) 是僅在圓周上一點接觸圓的直線。在該點，半徑與切線相交，形成一個完美的「L」形 (\(90^\circ\))。
你知道嗎？ 這就是輪子運作的原理！輪胎接觸地面的點，永遠垂直於車軸（圓心）。
4. 切線與法線
考試中，你可能會被要求求出切線 (Tangent)（掠過圓邊的線）或法線 (Normal)（穿過圓心和切點的垂直線）的方程。
如何求切線方程：
第一步：計算半徑的斜率。
使用圓心坐標和切點坐標，代入公式：\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)。
第二步：計算切線的斜率。
因為切線與半徑垂直，其斜率是半徑斜率的負倒數 (Negative Reciprocal)。
記憶法：顛倒它，並改變符號！（例如：如果半徑斜率是 \(2\)，切線斜率就是 \(-\frac{1}{2}\)）。
第三步：使用直線方程公式。
將切線斜率和切點代入：\(y - y_1 = m(x - x_1)\)。
如何求法線方程：
法線就是包含半徑的那條線！因此，你只需使用半徑的斜率（上面第一步算出的那個）和切點，代入直線方程公式即可。無需「顛倒」！
快速回顧框：
• 切線斜率： 與半徑垂直 (\(-\frac{1}{m}\))。
• 法線斜率： 與半徑相同 (\(m\))。
5. 圓的平移
平移 (Translation) 僅指將圓移動到新位置，而不改變其大小。
如果你將圓心為 \((a, b)\) 的圓按向量 \(\begin{bmatrix} h \\ k \end{bmatrix}\) 平移，新的圓心會變為 \((a+h, b+k)\)。
半徑保持完全不變。
例子： 如果你將 \((x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\) 按向量 \(\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}\) 平移：
• 新圓心 \(x = 1 + 3 = 4\)
• 新圓心 \(y = 2 - 1 = 1\)
• 新方程：\((x-4)^2 + (y-1)^2 = 9\)
關鍵點：平移只會改變公式中的 \(a\) 和 \(b\) 值。當你平移一個圓時，\(r^2\) 的值永遠不會改變！