連續隨機變量：S2 統計學筆記
歡迎來到精彩的連續隨機變量 (Continuous Random Variables) 世界！如果你已經成功掌握了離散隨機變量，那麼你已經成功了一半。它們的主要區別在於：我們不再是「數」結果（例如擲骰子的次數），而是「測量」結果（例如時間或身高）。由於無法進行計數，我們需要將統計工具箱中的求和符號 (\(\Sigma\)) 升級為強大的微積分 (Calculus) 語言（積分與微分）！
如果積分讓你感到頭痛，別擔心——這一章是運用你純數 (Pure Maths) 技巧的絕佳機會，它會讓你明白為什麼那些積分法則如此重要。
1. 離散與連續：關鍵區別
在研究隨機變量 (Random Variables, RVs) 時，我們根據它們可取值的類型進行分類：
離散隨機變量（複習）
- 取值為有限的、可數的數值（例如：0, 1, 2, 3）。
- 我們使用概率質量函數 (Probability Mass Function, PMF)，即 \(P(X=x)\)，為每個點分配一個特定的概率。
- 我們使用求和 (\(\Sigma\)) 來計算總概率或期望值。
連續隨機變量 (CRVs)
- 可以在指定範圍或區間內取任意值（例如：機器故障的時間、學生的精確身高）。
- 由於任意兩點之間有無窮多個可能的值，變量取某個確切單點值的概率為零。
- 關鍵結論： \(P(X = a) = 0\)。這意味著對於連續隨機變量，\(P(a < X < b)\) 與 \(P(a \le X \le b)\) 是完全一樣的！
- 我們使用積分 (\(\int\)) 來計算區間內的概率（即曲線下的面積）。
類比：想像馬拉松選手的完賽時間。他們在 4 小時 0 分 0.00000000... 秒「精確」完成比賽的概率幾乎為零，因為時間是連續的。我們只能計算他們在 4 小時到 4 小時 5 分鐘之間完成比賽的概率。
重點總結 1：
對於連續隨機變量，概率是在一個區間（面積）上進行測量的，而不是在單點上。如果你看到 \(P(X=k)\)，答案永遠是 \(0\)。
2. 概率密度函數 (PDF), \(f(x)\)
對於連續隨機變量 \(X\)，我們使用一個稱為概率密度函數 (Probability Density Function, PDF) 的函數，記作 \(f(x)\)。
什麼是 \(f(x)\)？
PDF 描述了概率如何在所有可能值的範圍內分佈。它本身不是概率，而是點 \(x\) 處的概率「密度」。
PDF 的有效性條件
要使 \(f(x)\) 成為有效的 PDF，它必須滿足兩個基本條件：
- 非負性： 概率密度不能為負。
$$\text{即，對所有 } x \text{，都有 } f(x) \ge 0$$ - 總概率（面積為 1）： PDF 曲線下的總面積必須等於 1。
$$\text{即，} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$ （實際應用中，由於 \(f(x)\) 通常定義在特定區間 \([a, b]\) 上，該積分變為 \(\int_{a}^{b} f(x) dx = 1\)）。
使用 PDF 計算概率
要找出 \(X\) 介於兩個值 \(a\) 和 \(b\) 之間的概率，我們只需計算該區間內 PDF 曲線下的面積：
$$P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$$
逐步教學：求未知常數 \(k\)
許多考試題目會要求你求出定義在區間 \([a, b]\) 上的 PDF 中的未知常數 \(k\)。
- 建立積分式： 使用總概率規則，\(\int_{a}^{b} k \cdot (\text{關於 } x \text{ 的函數}) dx = 1\)。
- 對函數積分： 執行關於 \(x\) 的積分運算。
- 代入極限： 使用 \(F(b) - F(a)\) 計算定積分。
- 解出 \(k\)： 將結果等於 1，並解出 \(k\) 的值。
快速複習：PDF
- \(f(x)\) 是概率密度。
- \(f(x)\) 下方的總面積必須為 \(1\)。
- 概率通過積分求得。
3. 累積分布函數 (CDF), \(F(x)\)
累積分布函數 (Cumulative Distribution Function, CDF)，記作 \(F(x)\)，告訴我們累積到特定值 \(x\) 為止的總概率。其定義為：
$$F(x) = P(X \le x)$$
微積分關係：PDF 與 CDF
這就是純數知識派上用場的地方！由於 \(F(x)\) 是累積的概率（面積），它是 PDF \(f(x)\) 的積分：
$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$$
（我們在積分內使用虛擬變量 \(t\)，以免與上限 \(x\) 混淆。）
反之，PDF 是 CDF 的變化率，即 CDF 的導數：
$$f(x) = \frac{d}{dx} F(x)$$
CDF 的性質與應用
- CDF 必須從 0 開始並以 1 結束：
- 對於 \(X\) 的最小值，\(F(x) = 0\)。
- 對於 \(X\) 的最大值，\(F(x) = 1\)。
- 使用 CDF 計算區間概率： 這通常比積分 PDF 快得多。
$$P(a < X < b) = F(b) - F(a)$$
求百分位數與中位數
常見的任務是求與給定概率對應的特定值 \(k\)（百分位數或四分位數）。例如，求中位數 (Median)，\(m\)。
- 中位數 \(m\) 是滿足 \(P(X \le m) = 0.5\) 的值。
- 要求 \(m\)，你需要解方程 \(F(m) = 0.5\)，或者如果尚未求出 \(F(x)\)： $$ \int_{a}^{m} f(x) dx = 0.5 $$
你知道嗎？中位數是一個衡量集中趨勢的重要指標，因為與平均值不同，它不受極端離群值影響！
重點總結 2：
PDF 和 CDF 通過微分和積分相互聯繫。使用 PDF 來推導 CDF，並使用 CDF 快速求得概率和百分位數。
4. 集中趨勢與離散程度的度量
與離散隨機變量一樣，我們需要計算連續隨機變量的平均值（期望值）、方差和標準差。我們只需要將求和改為積分即可。
平均值或期望值, \(E(X)\)
平均值 \(\mu\) 是隨機變量的長期平均水平，代表了分佈的「平衡點」。
$$E(X) = \mu = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$$
函數的期望值, \(E(g(X))\)
如果我們對 \(X\) 的某個函數（例如 \(X^2\), \(1/X\)）的期望值感興趣，我們使用通用公式：
$$E(g(X)) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx$$
常見錯誤：請記得在積分前，先將函數 \(g(x)\) 乘以密度函數 \(f(x)\)。
方差, \(\text{Var}(X)\)
方差衡量數據圍繞平均值的離散程度。
定義公式為 \(\text{Var}(X) = E((X-\mu)^2)\)。但在計算時，你必須使用以下公式：
$$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$
使用該公式的步驟：
- 先計算 \(E(X)\)（如上所述）。
- 使用 \(E(g(X))\) 的公式計算 \(E(X^2)\)，其中 \(g(x) = x^2\)：
$$E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx$$ - 將兩個結果代入方差公式。
標準差, \(\sigma\)
標準差僅是方差的平方根，它給出了與 \(X\) 原始單位相同的離散程度。
$$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$$
重點總結 3：
平均值和方差的計算涉及積分。計算方差時，請始終使用簡化公式 \(\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)。
5. 連續隨機變量的運算
這些規則規定了當你轉換單個變量或組合兩個獨立變量時，均值和方差如何變化。它們與離散隨機變量的規則完全相同。
5.1 單個變量的線性變換
設 \(Y = aX + b\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 為常數。
期望值規則
乘以 \(a\) 並加上 \(b\)，平均值會發生相同的偏移：
$$E(aX + b) = aE(X) + b$$
例子：如果平均分 \(E(X)\) 是 50，那麼乘以 2 再加上 10 後的平均分是 \(2(50) + 10 = 110\)。
方差規則
加上常數 \(b\) 不會改變離散程度，但乘以 \(a\) 會使方差按 \(a^2\) 的比例縮放（因為方差的單位是平方）：
$$\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$$
例子：如果 \(\text{Var}(X)=4\)，那麼 \(\text{Var}(3X - 5)\) 等於 \(3^2 \times 4 = 36\)。
5.2 兩個獨立變量的和與差
設 \(X\) 和 \(Y\) 為兩個獨立的連續隨機變量。
期望值規則（加法性）
和或差的期望值等於個別期望值的和或差：
$$E(aX \pm bY) = aE(X) \pm bE(Y)$$
方差規則（永遠相加）
當你組合獨立變量時，無論你是相加還是相減，不確定性（方差）總是會增加。兩個變量的波動都會導致最終離散程度的增加。
$$\text{Var}(aX \pm bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$$
記憶小竅門：方差的差值計算依然是求和！\(\text{Var}(X-Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)\)。
思考：減去兩個變量只會使整體結果更加分散且不可預測，因此方差必然增加。
重點總結 4：
線性變換規則至關重要！記住，期望值是線性縮放的，但方差按係數的平方縮放，且當組合獨立隨機變量時，方差永遠相加。
快速複習：連續隨機變量
下表總結了本章計算所需的核心公式：
計算總結
| 概念 | 公式 |
| 總面積（歸一化） | \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1\) |
| 區間概率 | \(P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x) dx\) |
| CDF | \(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt\) |
| 平均值 \(E(X)\) | \(\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx\) |
| 方差 \(\text{Var}(X)\) | \(E(X^2) - [E(X)]^2\) |
| 線性期望值 | \(E(aX+b) = aE(X) + b\) |
| 線性方差 | \(\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)\) |
| 和/差的方差（獨立） | \(\text{Var}(aX \pm bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)\) |